In dieser Antwort schreibt Jim Clay:
… verwenden Sie die Tatsache, dass $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Der obige Ausdruck unterscheidet sich nicht zu sehr von $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Ich habe es versucht um den späteren Ausdruck unter Verwendung der Standarddefinition der Fourier-Transformation zu erhalten $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ aber alle Am Ende ist es ein Ausdruck, der sich so sehr von dem unterscheidet, was anscheinend die Antwort ist.
Hier ist meine Arbeit:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {- j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Hier stecke ich fest.
Antwort
Ihre Arbeit ist in Ordnung, mit Ausnahme des Problems, dass die Fourier-Transformation von $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ in der nicht existiert üblicher Sinn für eine Funktion von $ f $, und wir müssen den Begriff erweitern, um sogenannte Verteilungen oder Impulse oder Dirac-Deltas einzuschließen, oder (wie wir Ingenieure es gewohnt sind, viel zu tun) der Ekel der Mathematiker) Delta -Funktionen. Lesen Sie mehr über die Bedingungen, die erfüllt sein müssen, um Die Fourier-Transformation $ X (f) $ des Signals $ x (t) $ existiert (im üblichen Sinne) und Sie werden sehen, dass $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ keine Fourier-Transformation in der hat üblicher Sinn.
Wenden Sie sich Ihrer spezifischen Frage zu, sobald Sie verstanden haben, dass Impulse nur dahingehend definiert werden, wie sie sich als Integranden in einem Integral verhalten, dh für $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ Delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ vorausgesetzt, dass $ g (x) $ bei $ x_0 $ stetig ist, ist es einfacher, die Fourier-Transformation von $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left abzuleiten . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ durch Nachdenken über die Tatsache, dass $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ und so muss es sein, dass $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ ist die inverse Fourier-Transformation von $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Antwort
Dann Verwenden Sie einfach eine Tabelle mit Fourier-Transformationspaaren , um zu sehen, dass $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $ und eine variable Substitution ($ f_1 = f + f_0 $ und $ f_2 = f-f_0 $), um zu bekommen, was Sie brauchen.
Kommentare
- Was wirft natürlich die Frage auf, wie die Person, die Die Tabelle wurde mit der Antwort in der Tabelle aufgeschrieben.
- @DilipSarwate 🙂 Jetzt stellen Sie ' eine viel, viel schwierigere Frage. 🙂
- In meiner Antwort finden Sie eine Version der Antwort auf die viel schwierigere Frage, die bei diesem Stapelaustausch auftreten könnte, wenn nicht bei math.SE!
- @DilipSarwate: you ' Ich habe bereits meine +1. Danke, schöne Antwort. Einverstanden, dass die Jungs von math.SE entsetzt wären. Das ist in Ordnung, wir ' sind Ingenieure. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…