Was ist die allgemeinste Form für die Wellengleichung? Ist es $ \ frac {\ partiell ^ 2 \ Psi} {\ partiell t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Kann zum Beispiel $ \ frac {\ partiell ^ 2 \ Psi} {\ partiell t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ eine Wellengleichung sein? Wenn ja, wie lautet die Lösung in diesem Fall.
Antwort
Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit $ cte $ meinen , aber ich gehe davon aus, dass es eine Konstante ist, aber ich kann falsch interpretieren
Wir sprechen oft über zwei Klassen von Differentialgleichungen, homogen und inhomogen. Diese Unterscheidung ist die Wurzel Ihrer Frage, \ begin {Gleichung } \ frac {1} {v ^ 2} (\ teilweise_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {Gleichung} ist die homogene Form der Wellengleichung, während \ begin {Gleichung} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partielle_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {Gleichung} ist die inhomogene Wellengleichung ($ u (\ vec {r}, t) $ kann auch konstant sein, wenn wir möchten). Dies entsteht Ein Beispiel ist, dass elektromagnetische Strahlung in Gegenwart von Ladungen und Strömen durch die inhomogene Wellengleichung bestimmt wird. Die homogene Form ist nur gültig, wenn $ \ rho = 0 $ und $ \ vec {J} = 0 $. Je nachdem, wen Sie fragen, würden die meisten Leute immer noch das Inhom sagen Die ogene Wellengleichung ist eine Wellengleichung, aber das hängt vom Geschmack ab, da die Lösungen einen ganz anderen Charakter haben können als die homogenen.
Im Allgemeinen kann ich nicht viel sagen über diese Lösungen, da sie „stark von der Form von $ u $ abhängen, obwohl ich sicher bin, dass einige Googler Ihnen viele Beispiele geben werden.
Kommentare
- Perfekt. Und was ist mit der gedämpften Wellengleichung? Was ist seine Form?
Antwort
Mason behandelte die Unterscheidung zwischen inhomogenen und homogenen Differentialgleichungen, aber wenn eine spricht von der allgemeinsten möglichen Form der Wellengleichung, es ist
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
wobei beide Felder Rang $ (m, n) $ Tensoren sind, auf die der Laplace-Beltrami-Operator $ \ square = einwirkt \ nabla ^ a \ nabla_a $, dessen Wirkung auf die Tensoren sowohl von der Metrik als auch von ihrem Rang abhängt. Für ein Skalarfeld mit der Metrik $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ reduziert es sich auf die bekannteste Form der Wellengleichung, $ (\ partiell ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Das Obige kann auch in der Sprache der Differentialformen neu gefasst werden.)
In gewisser Weise werden jedoch nicht alle Möglichkeiten abgedeckt. Beispielsweise ist in der allgemeinen Relativitätstheorie für eine Störung $ h_ {ab} $ der Metrik die Änderung der Krümmung erster Ordnung
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ square h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
, das in der Literatur als gekrümmter Raum „Wellenoperator“ verstanden wird, weil es zwar Wellenlösungen zulässt, aber eindeutig nicht der obigen Wellengleichung entspricht, wie sie enthält andere Begriffe, die Krümmungstensoren betreffen. Daher ist die „allgemeinste Form“ der Wellengleichung nichts, was wir wirklich aufschreiben können, es sei denn, Ihre Vorstellung davon ist streng $ (\ partiell ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
