Ich muss die Anzahl der Photonen in einem Lichtstrahl der Leistung berechnen $ P $ . Ich weiß, dass es eine konstante Leistung $ P $ über den Wellenlängenbereich $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Um dies zu berechnen, habe ich eine Formel verwendet, die in einer anderen SE-Frage angegeben wurde:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Es ist alles in Ordnung und damit habe ich $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ gefunden. Aber ich bin von dieser Formel nicht vollständig überzeugt, weil ich sie nicht aus $ E = N (\ nu) h \ nu $ ableiten kann.
Die Antwort, die ich aus der Formel erhalte, scheint richtig zu sein, aber ich brauche Beweise dafür.
Quelle für die Gleichung: Anzahl der Photonen
Kommentare
- Wie lautet also der Ausdruck für $ dE / d \ nu $, den Sie zur Bewertung Ihres Integrals verwendet haben?
Nun, die Leistung ist gleichmäßig über das Intervall verteilt, also sagte ich $ E = h \ nu $, also $ dE / d \ nu = h $
Antwort
Leistung ist die Menge an Energie, die pro Sekunde übertragen wird. Sie haben also gewonnen. “ Sie können stattdessen die Anzahl der Photonen berechnen. Stattdessen berechnen Sie die Anzahl der Photonen pro Sekunde. Unter $ P $ verstehe ich die Gesamtstrahlleistung innerhalb der Frequenz Bereich von $ \ nu_1 $ bis $ \ nu_2 $ .
Die Anzahl von Photonen pro Sekunde in einem kleinen Spektralintervall $ \ delta \ nu $ hängen vom Verhältnis der Strahlleistung in diesem Spektralintervall zur Energie pro Photon in der Spektralintervall.
Die Leistung des Strahls entspricht der Anzahl der Photonen pro Sekunde, geteilt durch die Energie pro Photon. Die Photonen haben einen Frequenzbereich, $ \ nu_1 $ bis $ \ nu_2 $ Das Problem besagt, dass die Leistung für jede Frequenz gleich ist innerhalb dieses Bereichs.
Sei N die Gesamtzahl der vom Strahl übertragenen Photonen pro Sekunde. Wählen wir einen kleinen Frequenzbereich von $ \ nu_i $ bis $ \ nu_i + \ delta \ nu $ Wir können so tun, als hätten alle Photonen in diesem kleinen Bereich die gleiche Frequenz, $ \ nu_i $ . Die Anzahl der Photonen pro Sekunde in diesem Bereich ist also $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Aber $ dP / d \ nu $ ist eine Konstante: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
Zu finden Für die Gesamtzahl der Photonen pro Sekunde im gesamten Bereich müssen wir alle Beiträge aus allen kleinen Bereichen addieren:
$$ N (Gesamtzahl der Photonen / sec) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
über alle $ \ nu_i $ im Bereich. Das ist nur das Integral
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
wobei $ N $ die Anzahl der Photonen pro Sekunde im Bereich von $ ist \ nu_1 $ bis $ \ nu_2 $ .
(Hoffentlich habe ich keine Fehler in der Mathematik gemacht. Ich bin sehr ungeschickt mit MathJax.)
Kommentare
- Das ist in Ordnung, aber was ich wissen wollte, ist die Ableitung für die Formel. Ich meine , wie kommt man von $ E = Nh \ nu $ dorthin?
- $ N $ in der Formel, die ich angegeben habe, ist eine Anzahl von Photonen pro Sekunde . $ N $ in $ E = Nh \ nu $ ist eine Anzahl von Photonen, nicht eine Anzahl von Photonen pro Sekunde.
- Gut, dann sagen Sie $ P = Nh \ nu $, wobei $ N $ die Anzahl von Photonen pro Sekunde ist Leiten Sie die Formel für $ N $ ab, wenn $ \ nu $ ein Intervall ist?
- Ah also: Sie müssen besser verstehen, was das Integral bedeutet. Ich werde meine Antwort so bearbeiten, dass sie dies einschließt.
- Die Bearbeitung hat es so viel klarer gemacht! Aber es gibt noch eine letzte Sache, die mich stört …Wie kommt man dazu, wenn man die Anzahl der Photonen pro Sekunde in den kleinen Frequenzbereich schreibt? Ich kann ' nicht scheinen, meinen Kopf um diese Idee zu wickeln. Es ist der einzige Zweifel, den ich wirklich hatte. Von Anfang an weiß ich, dass ich eine Funktion über $ \ nu $ integrieren sollte, aber ich konnte nicht dorthin gelangen. Dieser entscheidende Schritt nervt mich wirklich, er klingt sehr einfach, aber ich habe das Gefühl, dass mir ' ein Schritt fehlt.