Bedeutung des Fockraums

Angenommen, Sie haben ein System, das durch einen Hilbert-Raum $ H $ beschrieben wird B. ein einzelnes Teilchen. Der Hilbert-Raum zweier nicht wechselwirkender Teilchen des gleichen Typs wie der von $ H $ beschriebene ist einfach das Tensorprodukt

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Allgemeiner für ein System von $ N $ Partikel wie oben, der Hilbert-Raum ist

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

mit $ H ^ 0 $ definiert als $ \ mathbb C $ (dh das Feld, das $ H $ ) zugrunde liegt.

In QFT gibt es Operatoren, die die verschiedenen $ H ^ N $ s, dh Partikel erzeugen und vernichten. Typische Beispiele sind die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren $ a ^ * $ und $ a $ . Anstatt sie in Bezug auf ihre Aktion für jedes Paar von $ H ^ N $ und $ H ^ M $ darf man eine " umfassende " Definition für den größeren Hilbert-Raum geben, der definiert wird, indem die direkte Summe aller Multi genommen wird -Partikelräume, nämlich

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H. ^ N \ oplus \ cdots, $$

, bekannt als Fock-Hilbert-Raum von $ H $ und manchmal auch als $ e ^ H $ .

Aus physikalischer Sicht ist die obige allgemeine Definition des Fock-Raums unerheblich. Es ist bekannt, dass identische Partikel eine bestimmte (para-) Statistik beobachten, die den tatsächlichen Hilbert-Raum reduziert (durch Symmetrisierung / Antisymmetrisierung für den bosonischen / fermionischen Fall usw.).

Kommentare

• Hervorragende Antwort! Ich wünschte, sie würden die QFT-Lehrbücher so schreiben.

Großartige Antworten, aber der Vollständigkeit halber vielleicht Ein Beispiel wird veranschaulichend dargestellt.

Angenommen, Ihr $ H ^ 1 $ enthält einige Einzelteilchenzustände $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $ usw. Der Fock-Raum hebt die Einschränkung auf auf ist ein einzelnes Teilchen und setzt sich zusammen aus $ H ^ 0 $ (das eindimensional ist), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $ usw. Dies erlaubt Zustände wie

• den Vakuumzustand, nennen wir es den leeren Ket $ | \ rangle $,
• alle Einzelteilchenzustände, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• alle Zwei-Teilchen-Zustände, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (Hinweis, dass diese Konstruktion sie als unterscheidbar erachtet),

aber am wichtigsten

• jede Überlagerung der oben genannten , wie $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ right) $.

Dieser Raum ist von Natur aus unendlich dimensioniert, selbst wenn Sie mit etwas Kleinem wie einem Qubit beginnen. Wenn Sie sich das Ergebnis mit Hilfe einer Basis vorstellen möchten, verketten Sie einfach die Listen der Basiszustände aller Komponenten:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

In der Die trivialste Einstellung, dass das einzelne Teilchen keine unterschiedlichen Zustände aufweist, ist also $ H ^ 1 $ eindimensional. Es ist immer noch sinnvoll, einen Referenzzustand $ | {} \ circ {} \ rangle \ in H ^ 1 $ auszuwählen und den Fock-Raum mit der Basis

$$ \ {| \ rangle =: | 0 zu konstruieren \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

Ein Beispiel für einen Zustand kann beispielsweise ein kohärenter Zustand

$$ | sein \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

und Sie haben ein schönes Beispiel dafür, warum Menschen in einem harmonischen Oszillator von Anregungen wie von „Phononen“ sprechen können, obwohl nur ein einziges Teilchen schwingt!

Ja, das tut es. Wenn Sie möchten, bauen Sie aus den „kleinen“ einen „großen“ Hilbert-Raum.