Ich erhielt ein Problem bei den Hausaufgaben, bei dem wir die Zeit berechnen mussten, die ein fallendes Objekt benötigt, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen bei Berücksichtigung der Widerstandskraft. Ich habe es getan, indem ich die Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit und der Integration eingestellt habe (es war eine Differentialgleichung).
Dies ist jedoch ein Einführungskurs in die Physik, für den keine Kenntnisse der Analysis erforderlich sind. Genau genommen haben wir noch nicht einmal Ableitungen durchgeführt. Ich hatte das Glück, vorher die Analysis genommen zu haben, also war ich es in der Lage, die Differentialgleichung zu erkennen und zu lösen.
Als ich meine Klassenkameraden fragte, wie sie es machten, sagten sie, sie hätten mit Zahlen herumgespielt, bis sie etwas bekamen, das funktionierte (es war online, ohne dass Punkte für falsche Antworten abgezogen wurden Für die meisten von ihnen haben sie nur die Endgeschwindigkeit durch die Erdbeschleunigung geteilt, was keinen Sinn macht, da wir nicht einmal nach der Zeit gefragt haben, die benötigt wird, um die Endgeschwindigkeit zu erreichen, sondern 63% davon. Diese Methode wurde zufällig auf die gleiche Zahl gerundet wie die richtige.
Meine Frage ist, gibt es eine Möglichkeit, diesen Wert mithilfe der Elementarphysik zu finden, oder hat mir mein Professor ein unfaires Problem gegeben? Die TAs waren keine Hilfe und ich habe Unterricht während ihrer Bürozeiten.
Die Frage selbst lautet wie folgt:
Die Die Endgeschwindigkeit eines 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg-Regentropfens beträgt ungefähr 9 m / s. Unter der Annahme einer Widerstandskraft $ F_D = −bv $ bestimmen Sie die Zeit, die ein solcher Tropfen aus der Ruhe benötigt, um 63 zu erreichen % der Endgeschwindigkeit.
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- Da die Antwort einen Exponential- / Logarithmus in eine Richtung beinhaltet oder eine andere, man müsste eine Lösung entwickeln, die einen Exponential- / Logarithmus beinhaltet. Wählen Sie Ihr Gift … Ich habe das Gefühl, dass ‚ eine Annäherung an die Analysis sein wird.
- Ich denke, eine Lösung mit Logarithmen wäre ein faires Spiel. Wir ‚ müssen das ziemlich genau wissen. Das Problem ist, dass ich t für mein Leben überlege dir einen Weg, dies zu tun, der ‚ keine Differentialgleichung beinhaltet. Vielleicht i t ‚ s, weil ich ‚ es gewohnt bin, Probleme auf diese Weise zu lösen, nachdem ich Kalkül genommen habe. Wenn jemand eine andere Methode entwickeln könnte, wäre dies sehr dankbar.
- ‚ hängt möglicherweise damit zusammen, dass 63% $ 1 – e ^ {- 1} sind. $
Antwort
Wenn die Widerstandskraft als lineare Funktion der Geschwindigkeit $ (\ vec {modelliert wird) F} _D = -b \ vec {v}) $, dann ist das Problem unkompliziert . Der vertikale Kraftausgleich für ein fallendes Tröpfchen ist $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ Punkt {v}, $$, was die folgende Differentialgleichung für die Geschwindigkeit ergibt: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ Im Grenzfall der maximalen Geschwindigkeit / Nullbeschleunigung $ (\ dot {v} = 0) $ vereinfacht sich der Kraftausgleich auf $$ mg = bv_ {max} , $$ oder $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Zurück zu unserer Differentialgleichung: Wenn die Anfangsgeschwindigkeit $ v (0) = 0 $ ist, dann ist die Lösung zu Diese ODE ist $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Durch Definieren der Zeitkonstante als $ \ tau = \ frac { m} {b} $ und unter Verwendung der Definition der Endgeschwindigkeit vereinfacht sich die zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit zu $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ Die Position kann, falls gewünscht, leicht genug gefunden werden, indem eine andere Integration durchgeführt wird: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Unter der Annahme, dass die Anfangsposition $ y (0) = 0 $ ist und vereinfacht wird, lautet die Lösung für die vertikale Position $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Wir haben jetzt analytische Lösungen für die Beschleunigung, Geschwindigkeit und Position des fallenden Objekts als Funktion der Zeit und der Systemparameter, die alle bekannt sind ( außer $ b $). Beachten Sie jedoch, dass die angeforderte Zeit zum Erreichen einer Geschwindigkeit von $ 0.63v_ {max} $ nicht willkürlich ist. Nach Ablauf einer Zeitkonstante haben wir $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \%}. $$ Daher müssen wir lediglich den Wert der Zeitkonstante berechnen, und der resultierende Wert ist Ihre Antwort. Was deine Klassenkameraden betrifft, sind sie nicht falsch. Unser Ziel ist es, $ \ tau $ zu berechnen, und wenn Sie sich unsere frühere Mathematik genau ansehen, werden Sie feststellen, dass $ \ tau $ tatsächlich der Endgeschwindigkeit geteilt durch $ g $ entspricht. Oktavdiagramme der Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktionen sind unten als Referenz aufgeführt (ersetzen Sie $ k $ im zweiten Diagramm durch $ b $).
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- Ja, das wurde uns nie beigebracht Gleichung, mit der Sie verknüpft haben. Aber danke, das ist ziemlich genau das, wonach ich gesucht habe.Ich wollte nur wissen, ob es eine allgemeinere Methode zur Lösung dieser Frage gibt, die wir herausfinden sollten, und es sieht so aus, als ob die Antwort Nein lautet.
- @JakeChristensen Möglicherweise gibt es noch eine andere Weg, um Ihre Antwort zu finden, aber denken Sie daran, dass Calculus (mindestens Newtons ‚ s Calculus) erfunden wurde, um physikalische Probleme zu lösen 😉
Antwort
Normalerweise ist der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, und daher beträgt die Abwärtsbeschleunigung
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
Die Lösung für eine solche Bewegung lautet $$ \ begin {ausgerichtet} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {align} $$
Geben Sie also die Geschwindigkeit $ v $ ein, auf die Sie abzielen möchten, und Sie erhalten die Entfernung $ x $ und $ t $ , um es zu erreichen.
PS. Wenn Sie den Drag-Parameter $ \ beta $ nicht kennen, aber stattdessen die Höchstgeschwindigkeit kennen, können Sie ihn anhand der Höchstgeschwindigkeit schätzen, indem Sie $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Antwort
1) Ermitteln Sie die Widerstandskraft bei Endgeschwindigkeit. 2) Multiplizieren Sie diese Kraft mit 0,63 (63%). 3) Teilen Sie diese neue Kraft durch die Masse des Regentropfens. 4) Verwenden Sie die Geschwindigkeitsbeschleunigungszeit Kinematikgleichung zur Lösung für die Zeit $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
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- Dies ist nicht ‚ nicht korrekt. Sie gehen davon aus, dass die Beschleunigung konstant ist (was ausdrücklich keine Änderung der Geschwindigkeit und des Luftwiderstands betrifft). Ich ‚ gehe hier davon aus, dass $ a (t) $ $ a * t $ bedeutet, denn wenn Sie $ a $ als Funktion von $ t $ meinen, macht das bei keinen Sinn alle.