Beste Möglichkeit, Trigonometrie zu lernen

Schaums Umrisse sind im Allgemeinen sehr praktisch und billig. Gut geeignet für einen älteren Lernenden Die Antworten sind direkt nach den Problemen im Vergleich zum Ende. Und Sie erhalten alle Antworten, nicht die ungeraden / geraden Gyp. So geeignet zum Selbstlernen.

Ich mag diese insgesamt und besitze sie: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Es stammt aus dem Jahr 1960, die Sprache ist also nicht archaisch, aber nicht „Neu“. Sie sind sich nicht sicher, welchen anderen Nutzen als die Sprache Sie von neueren Versionen erwarten, aber wenn Sie eine neuere Version möchten, haben sie stattdessen eine aktuelle 4. Ausgabe von College Math, die Sie stattdessen erhalten können.

Beachten Sie, dass dies eine allgemeine Vorberechnung ist Buch (und wahrscheinlich was Sie brauchen). Aber wenn Sie nur einen Trig-Primer wollen, hat Schaums das auch. Offensichtlich mehr Trig-Probleme im Trig-Buch als im Precalc-Buch (das alle normalen High-School-Kurse abdeckt).

Ps Es wäre Es ist einfacher, Sie zu beraten, wenn Sie uns gesagt haben, welche Bücher Sie gescheitert sind. Wie habe ich eine lange vergebliche Antwort geschrieben?

Pss Ich bin mir nicht sicher, warum Trig für Menschen so eine Hürde ist. Aber ich empfehle, zuerst über die Sünde und das Cos und dergleichen im Kontext des Einheitskreises nachzudenken, nicht über die Seitenverhältnisse der Dreiecke. Es ist nur ein etwas einfacheres Konzept und ohne ein Verhältnis, das man im Auge behalten muss.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn macht es hier etwas komplexer, indem er über Verhältnisse spricht. Aber als ich es erfuhr, war der große Vorteil eine allererste Einführung ohne Verhältnisse … nur x- und y-Achsen des Einheitskreises.

Kommentare

• Danke für die Antwort! Und Sie ‚ haben Recht, ich hätte erwähnen sollen, welche Bücher. Die 3 Bücher sind Trigonometry, 5. Auflage von Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies von Mary Sterling und College Trigonometry von Stitz und Zeager, 2013. Ich ‚ beginne mit der Vorberechnung an der uni endet der sommer und ich ‚ bin mir sicher, dass ich ‚ mich früh genug mit trig wohlfühlen werde. Ich hoffe nur, genug zu lernen In der Zwischenzeit beende ich meinen ersten Kurs ohne zu viele Unebenheiten.
• Stellen Sie sicher, dass Sie viele Probleme haben. Möglicherweise haben Sie das Gefühl, “ Ich ‚ verstehe es nicht „. Aber wenn Sie große Mengen an Problemen bearbeiten, wird es nur in Ihren Kopf gerillt. Und Arbeitsprobleme bedeuten, die Antwort abzudecken und das Problem vollständig zu bearbeiten. Überprüfen Sie Ihre Antwort. Wiederholen (vollständig) alle Probleme, die von Grund auf übersehen wurden (auch bei dummen Vorzeichenfehlern). Behandle es wie körperliches Training für einen Sport oder das Erlernen eines Musikinstruments. Seien Sie fleißig.
• @RustyCore Um ganz klar zu sein, ich ‚ wechsle von einem örtlichen College. Was ich am College studierte, hatte nichts mit Mathematik zu tun und hatte nur sehr geringe mathematische Anforderungen, daher war meine erste Matheklasse an der Uni vorberechnet.
• @guest, ich verstehe. Aber ich denke, Rusty war anmaßend und unhöflich. Ich ‚ bin mir völlig bewusst, dass es wahrscheinlich die schwierigste und stressigste Zeit meines Lebens sein wird, diesen Abschluss zu machen, aber ich möchte ‚ nicht wirklich mich davon abzuhalten, nur weil ich ‚ es mit einem Thema schwer habe. Die meisten Leute geben auf und sagen, dass sie ‚ einfach keine Mathematiker sind, wenn sie vor einer Straßensperre stehen und sich sofort von weiteren Berechnungen oder den Grundlagen abschotten, für die sie eine Auffrischung benötigen. Ich ‚ versuche das zu vermeiden, weil ich genau das in den vergangenen Jahren getan habe.
• @Lex_i, Sie klingen wie ein reifer Schüler, und ich habe viele Schüler gehabt wie Sie, die sich auszeichnen. Ich hoffe, Ihre Abenteuer in Mathematik bringen Ihnen Freude.

Vielleicht könnte ein visueller Ansatz Ihr Studium ergänzen? Es gibt viele solcher Ressourcen im Internet, nicht in Lehrbüchern. Beispiel: Intuitiv auslösen :

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          ^{Hinweis: Die Beschriftungen zeigen, wohin jedes Element „führt . “}

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Ein weiteres: Interaktiver Einheitenkreis . Eine andere: Inverse Triggerfunktionen .

Kommentare

• it ‚ ist ein nützliches Diagramm. Ich würde einen Haftungsausschluss hinzufügen, dass das Konzept ähnlicher Dreiecke verwendet wird, um Verwirrung zu vermeiden.
• Ich denke, das Diagramm wäre hilfreicher, wenn es den Winkel und alle Funktionen zeigt . Es sieht so aus, als ob ‚ entwickelt wurde, um sich an das zu erinnern, was Sie bereits wissen, und nicht um Trigger von Grund auf neu zu lernen.
• @JessicaB: 1. Es ist nicht mein Diagramm: -). Zweitens gibt es eine Erzählung, die damit einhergeht; es ist nicht beabsichtigt, allein zu stehen. Drittens finde ich es nützlich zu sehen, dass zum Beispiel $ \ sin \ le \ tan $ und $ \ sec \ ge \ tan $ und $ \ tan $ unbegrenzt sein können usw.
• @ JessicaB: PS. Der Winkel ist der Winkel in der Mitte des Kreises, der in meinem Schnappschuss leider fast unsichtbar ist.
• @JosephO ‚ Rourke Ich weiß, dass Sie nicht ‚ nicht zeichnen. Und ich weiß jetzt, dass der Winkel derjenige in der Mitte ist, weil ich trig kenne. Aber als ich zum ersten Mal darauf stieß, war ich sehr verwirrt, weil ich ‚ die Beziehung zum Winkel nicht aufgegriffen hatte.

Ich persönlich würde eine Lehrbuchempfehlung bevorzugen, die ich herunterladen oder abholen kann und die [vorzugsweise] nicht alt ist und funktioniert Machen Sie die Trigonometrie nicht einschüchternd (insbesondere wenn Sie das Verständnis der Beweise hinter Eigenschaften / Theoremen betonen).

Ich habe keine Lehrbücher zu empfehlen, aber ich kann empfehlen einen Ansatz für Trigonometrie, der das mathematische Verständnis erleichtert, indem die logische Grundlage der Trigonometrie und algebraische Struktur trigonometrischer Ausdrücke zwei „Ebenen“ dazu, je nachdem, ob Sie direkt zu kompl gehen wollen Ex-Zahlen oder bleiben innerhalb der realen Trigonometrie. In beiden Fällen liegt der Schwerpunkt darauf, den intrinsischen Kern der Trigonometrie zu identifizieren und alles andere darauf zu reduzieren.

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Echte Trigonometrie

Die Schlüsselgrößen sind $ \ cos (t) $ und $ \ sin (t) $ , das sind die $ x $ und $ y $ -Koordinaten des Punktes $ P_t $ auf dem Einheitskreis, der einen Bogen der Länge $ t $ begrenzt gegen den Uhrzeigersinn aus der $ x $ -Achse, wie im Bild aus wikipedia :

Hier wird die Bogenlänge entlang des Einheitskreises gemessen und $ π $ ist definiert als Bogenlänge des Halbkreises, also ist $ 2π $ $ 360 ° $ . (Diese Art der Winkelmessung wird oft als Messung in “ Bogenmaß “ bezeichnet, aber ich persönlich halte dies für einen unnötigen Begriff.) Hinweis dass $ P_t = P_ {t + 2πk} $ für jede ganze Zahl $ k $ , weil $ 2πk $ wäre ein ganzzahliges Vielfaches voller Runden. Beachten Sie auch, dass durch Erhöhen von $ t $ $ P_t $ gegen den Uhrzeigersinn bewegt wird, während $ t $ bewegt $ P_t $ im Uhrzeigersinn. Im Zusammenhang damit ist $ P _ {- t} $ die Reflexion von $ P_t $ über den $ x $ -Achse.

Beachten Sie, dass die Vorzeichen von $ \ cos (t) $ und $ \ sin (t) $ stimmen genau mit den Vorzeichen der Klassen $ x $ und $ y $ Koordinaten des Punktes auf dem Kreis. (Hören Sie nicht auf Leute, die Ihnen sagen, dass Sie sich etwas merken sollen, um festzustellen, welcher von ihnen in welchem Quadranten positiv ist.)

Und nur per Definition $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ für jeden reellen $ t $ . Dies ist die erste algebraische Schlüsseltatsache .

Als nächstes $ \ tan (t) $ ist definiert als $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (In der Vergangenheit haben wir auch $ \ sec (t) definiert: = 1 / \ cos (t) $ und $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ und $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , Aber ehrlich gesagt ist es wenig vorteilhaft, so viele zu haben, wenn $ \ cos, \ sin $ allein ausreicht.) Wann immer Sie einen trigonometrischen Ausdruck vereinfachen möchten, der $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , Sie sollten wahrscheinlich die mathematische Standardtechnik von ausführen Umschreiben in kanonischer Form , was in diesem Fall das Umschreiben in Form von $ \ cos, \ sin $ allein bedeutet, während Beachten Sie, wo der ursprüngliche Ausdruck nicht definiert ist (z. B. $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ für jede echte $ t $ nur wenn $ t $ kein Vielfaches von $ π $ ).

Die andere wichtige algebraische Fakten ergeben sich aus der Berücksichtigung von Rotationsmatrizen, die auf Vektoren angewendet werden. (Wenn Sie mit Matrizen als Operatoren für Vektoren nicht vertraut sind, lesen Sie zuerst . Eine Einführung in Vektoren im euklidischen Raum finden Sie unter hier .) Sei $ R $ eine beliebige Drehung um den Ursprung in der Ebene. Dann erfüllt $ R $ drei Eigenschaften:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ für alle Vektoren $ u, v $ (dh das Summieren von zwei Vektoren und anschließendes Drehen des Ergebnisses ergibt dasselbe wie Drehen die beiden Vektoren zuerst, bevor sie summiert werden.
2. Wenn $ R, S $ Drehungen von Winkeln gegen den Uhrzeigersinn sind $ t, u $ bzw. $ R∘S $ ist eine Drehung des Winkels $ t + u $ .
3. Wenn $ R $ eine Drehung des Winkels $ t $ , dann:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ für jede echte $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ für jede echte $ y $ .

Wir können diese Eigenschaften als Axiome (Annahme) über Rotationen verwenden. Wenn $ R $ sie nicht erfüllt, würden wir $ R $ nicht als Rotation nach bezeichnen anfangen mit. Um zu sehen, warum, erfasst Eigenschaft (1) die Intuition, dass das Drehen von zwei verbundenen Stäben beide Stäbe um den Drehwinkel dreht, während erhalten bleibt, wo sie sich verbinden. Eigenschaft (2) wird nur in Verbindung mit Eigenschaft (3) benötigt. Die Eigenschaft (3a) folgt aus der Definition von $ \ cos, \ sin $ , und die Eigenschaft (3b) folgt aus derselben Definition, die $ 90 ° $ gegen den Uhrzeigersinn.

Die Eigenschaften (1) und (3) ergeben die Matrixform einer 2d-Drehung:

Wenn $ R $ eine Drehung des Winkels $ t $ gegen den Uhrzeigersinn ist, dann $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

Und dann verwenden wir die Eigenschaft (2) we get:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ für alle Reals $ t, u $ .

Wenn Sie das Matrixprodukt rechts multiplizieren und mit der Matrix links vergleichen, erhalten Sie sofort den Winkel- Summenidentitäten:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ für alle Real $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ für alle Reals $ t, u $ .

Wann immer Sie Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen in Summen von vereinfachen möchten Winkel sollten Sie in Betracht ziehen, diese Identitäten zu verwenden, um den Ausdruck in Bezug auf $ \ cos, \ sin $ mit möglichst wenigen Winkeln.

Tatsächlich sind alle trigonometrischen i Zahnkrankheiten, die nur arithmetische Operationen und trigonometrische Funktionen betreffen, können nur anhand der obigen Definitionen und der wichtigsten algebraischen Fakten nachgewiesen werden. Ein bisschen seltsamerweise können sogar die Symmetrieeigenschaften wie folgt algebraisch bewiesen werden.

Bei jedem realen $ t $ :

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [Winkelsumme]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [Winkelsumme]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Für eine echte Analyse benötigen wir die folgenden Fakten, die vorerst als Axiome herangezogen werden können (und später separat begründet werden):

1. $ \ sin „= \ cos $ .
2. $ \ cos „= – \ sin $ .

Nach wie vor ist alles ca. n auf diese reduziert werden, so dass es nicht wirklich notwendig ist, sich etwas mehr zu merken (auch wenn dies zweckmäßig sein mag).

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Komplexe Trigonometrie

Persönlich, Ich denke, es ist am besten, direkt zu den komplexwertigen trigonometrischen Funktionen zu gehen, wenn man eine vollständige und strenge Grundlage für das mathematische Feld der -Analyse . Man definiert einfach: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ für jeden komplexen $ z $ (danach) Nachweis, dass die Summe konvergiert).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ ist zweimal die erste positive Wurzel von $ \ cos $ ( nach dem Nachweis, dass es existiert).

Die Motivation ist, dass wir $ \ exp: \ cc → \ wollen cc $ so, dass $ \ exp „= \ exp $ und $ \ exp (0) = 1 $ , um allgemeine lineare Differentialgleichungen lösen zu können, und wir wollen $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ , so dass $ \ cos „“ = – \ cos $ und $ \ sin „“ = – \ sin $ und $ ⟨\ cos (0), \ cos „(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ und $ ⟨\ sin (0 ), \ sin „(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , um einfache harmonische Bewegungen lösen zu können, und die Taylor-Erweiterung bringt uns zu den obigen Definitionen für $ \ exp, \ cos, \ sin $ , die wir auf der gesamten komplexen Ebene konvergieren können. Die obige Definition von $ π $ ist die einfachste, von der ich weiß, dass sie nicht von einer Geometrie abhängt. (Weitere Einzelheiten zu dieser Motivation finden Sie unter in diesem Beitrag .)

Es genügt zu sagen, dass wir mit diesen Definitionen durch grundlegende Analyse beweisen können dass $ \ exp, \ cos, \ sin $ die gewünschten motivierenden Eigenschaften sowie eine andere Schlüsseleigenschaft von $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ für jeden komplexen $ z, w $ .

Mit dieser Eigenschaft können wir alle trigonometrischen Identitäten nur durch algebraische Manipulation beweisen (und sie gelten für komplexe Variablen und nicht nur reale Variablen).

Zum Beispiel bei jedem komplexen $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Trotzdem ist es oft noch einfacher, zuerst zu beginnen Beweisen Sie dieselben wichtigen algebraischen Fakten für $ \ cos, \ sin $ und verwenden Sie sie dann, um andere Identitäten zu beweisen, als um alles auf $ \ exp $ .

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• Für weitere mathematische Fragen können Sie gerne dieser Chatraum .

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