Kommentare
- Das ist nicht wirklich erforderlich, obwohl dies zu erwarten ist. ' ist tatsächlich eine weitaus grundlegendere Identität als alles, was ein Integral erfordern würde. Sie müssen nur die Operatoren unter Verwendung der Definition des hermitischen Konjugats von Seite zu Seite des Bra-Ket-Ausdrucks mischen.
Antwort
Wie leftaroundabout schrieb, ist die Integration nach Teilen nicht sinnvoll. Sie haben keine Ausdrücke für Operatoren, daher gibt es keine Gründe dafür. Sie können jedoch Folgendes verwenden: \ begin {align} \ langle \ Psi_ {1} | (\ hat {A} \ hat {B}) ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle & = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | c \ rangle ^ {*} \ langle c | \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \\ & = \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle, \ end {align}, wo ich die Definition von verwendet habe Einsiedlerkonjugat, $$ \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*}, $$ und Basis $ | c \ rangle $ von Eigenvektoren eines Operators in einem Hilbert-Raum, $ \ langle c | c \ rangle = 1 $; $ \ sum_c | c \ rangle \ langle c | = \ mathbb 1 $
Antwort
Sie müssen tatsächlich keine Basis auswählen, wie in angegeben Die Antwort von Andrew McAdams.
Dies ist am einfachsten in der mathematischen Notation (im Gegensatz zur Dirac-Notation) zu beweisen, wobei $ (\ cdot, \ cdot) $ das innere Produkt ist, dann für alle Vektoren $ \ phi $ und $ \ psi $ im Hilbert-Raum, und für die Operatoren $ A $ und $ B $ haben wir \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ Dolch A ^ \ Dolch \ phi, \ psi) \ end {align}, während auf der anderen Seite \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align}, was wie gewünscht $ B ^ \ dagger A ^ \ dagger = (AB) ^ \ dagger $ impliziert.
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- und hier als einzelne Zeile, nur zum Teufel: $ ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi ) = (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ Dolch \ phi, B \ psi) = (B ^ \ Dolch A ^ \ Dolch \ phi, \ psi) \; \ forall \ phi, \ psi \ Leftrightarrow (AB) ^ \ Dolch = B ^ \ Dolch A ^ \ Dolch $