Das Frosch-Rätsel – Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Schauen wir uns das Froschpaar an. Männliche Frösche werden im Video durch Quaken identifiziert.

Wie im Video erläutert, gibt es 4 gleich wahrscheinliche Ergebnisse bei 2 Fröschen, bevor wir ein Quaken hören:

• Frosch 1 ist männlich, Frosch 2 ist männlich
• Frosch 1 ist weiblich, Frosch 2 ist männlich
• Frosch 1 ist männlich, Frosch 2 ist Weiblich
• Frosch 1 ist weiblich, Frosch 2 ist weiblich

Unter der Annahme, dass Männer und Frauen gleich und unabhängig voneinander auftreten, beträgt unser Probenraum $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, und wir haben eine Wahrscheinlichkeit von $ 1/4 $ für jedes Element.

Nun, sobald wir das Quaken hören Wenn wir von diesem Paar kommen, wissen wir, dass mindestens ein Frosch männlich ist. Daher ist das Ereignis $ (F, F) $ unmöglich. Wir haben dann einen neuen, reduzierten Probenraum , der durch diese Bedingung induziert wird: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Jede verbleibende Möglichkeit ist immer noch gleich wahrscheinlich und die Wahrscheinlichkeiten Die Anzahl aller Ereignisse zusammen muss $ 1 $ betragen. Die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser drei Ereignisse im neuen Probenraum muss also $ 1/3 $ betragen.

Das einzige Ereignis, das für uns schlecht endet, ist $ (M, M) $, also gibt es $ 2 / 3 $ Überlebenschance.

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Formalerweise lautet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Wenn also $ A $ das Ereignis ist, dass mindestens eine Frau anwesend ist, und $ B $ das Ereignis ist, dass mindestens ein Mann anwesend ist, haben wir: \ begin {align} P (\ text {F bei mindestens 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F und mindestens 1 männlich})} {P (\ text {at mindestens 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M und 1 F})} {P (\ text {1 M oder 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Dies ist wirklich das gleiche Verfahren, das wir wie oben durchdacht haben.

Kommentare

• Hallo mb7744, danke für die schnelle Antwort. Ich verstehe die Antwort wie dargelegt, aber das sieht für mich nach Doppelzählung aus, weshalb ich ‚ Schwierigkeiten habe, die Antwort zu akzeptieren. (M, F) = (F, M), und wenn nicht, warum?
• (M, F) und (F, M) sind nicht dasselbe Ereignis. Wenn ein Frosch Alex heißt und der andere Frosch Taylor heißt, könnte Alex die Frau und Taylor der Mann sein ODER umgekehrt. Alex und Taylor würden wahrscheinlich nicht zustimmen, dass diese Unterscheidung bedeutungslos ist. Jetzt können Sie die beiden Ereignisse als gleichwertig anzeigen.Dann sind Ihre drei Ergebnisse (M, M), (F, F) und (M, F) jedoch nicht gleich wahrscheinlich. Die gemischte Paarung ist doppelt so wahrscheinlich. Dies ist der gleiche Grund, warum Sie mit einem Würfelpaar viel häufiger eine 7 würfeln als mit einer 2, selbst wenn Sie all die verschiedenen Arten des Würfelns von 7 als gleichwertig betrachten.
• Hallo, ich denke Dies hilft zu klären, wo ich ‚ nicht ‚ ‚ das Rätsel bekomme. Wenn ich das Problem so wiederholen kann, wie ich es sehe, ersetzen Sie den Frosch durch einen Münzwurf (oder einen Würfelwurf). Wenn Sie zwei Münzen werfen und bestimmte Kombinationen ausschließen müssten, würde ich die Antwort vollständig akzeptieren. In der Analogie des Rätsels ‚ habe ich dies jedoch gelesen, da wir nur einen Münzwurf erhalten. Der andere wurde bereits gemacht und kann das Ergebnis des anderen nicht ändern. Wenn wir nicht wissen, welches der beiden Ergebnisse bereits ermittelt wurde, können wir ‚ nicht zwei Münzen werfen und auswählen, welche Ergebnisse eingeschlossen oder ausgeschlossen werden sollen. Wenn Sie also die Würfelwurf-Analogie verwenden …..
• … können Sie zwei Würfel werfen, aber Ihnen ist ein Würfel ‚ bereits unbekannt beschlossen. Sie haben nur eine 1/6 Chance, eine Zahl von 7-12 zu machen. Liege ich hier falsch?
• Wenn wir uns alle Paare gleich wahrscheinlicher Ergebnisse beim Würfeln ansehen, ist die Reihenfolge wichtig . Stellen Sie sich vor, ein Würfel ist blau und der andere rot, und wir schreiben unsere Ergebnisse mit dem blauen Würfel zuerst und dem roten Würfel zuletzt. Dann ist das Ergebnis (1,2) nicht dasselbe wie das Ergebnis (2,1). Und nach wie vor ist die Wahrscheinlichkeit, eine “ 1 und eine 2 zu würfeln, unabhängig von der Reihenfolge “ doppelt so hoch wie beispielsweise und rollt ein Paar 2s. Für Ihre letzte Frage gehe ich davon aus, dass Sie sagen wollten, dass das Ergebnis eines ‚ auf 6 festgelegt wurde. In diesem Fall sind Sie richtig.

Da die Mathematik bereits angelegt ist, werde ich es versuchen Das Problem besteht darin, dass das Wissen, dass mindestens ein Frosch männlich ist, sich von dem Wissen unterscheidet, dass ein bestimmter Frosch männlich ist. Der erstere Fall enthält weniger Informationen, und dies erhöht effektiv unsere Chancen gegenüber der letzteren Situation

Rufen Sie die Frösche links und rechts an und nehmen Sie an, dass uns gesagt wird, dass der rechte Frosch männlich ist. Dann haben wir zwei mögliche Ereignisse aus dem Probenraum entfernt: das Ereignis, bei dem beide Frösche sind weiblich und das Ereignis, bei dem der linke Frosch männlich und der rechte Frosch weiblich ist. Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit wirklich die Hälfte und es spielt keine Rolle, welchen wir wählen. Das gleiche Argument trifft zu, wenn wir erfahren, dass der linke Frosch männlich ist.

Wenn uns jedoch nur gesagt wird, dass mindestens ein Frosch männlich ist, was passiert, wenn wir das Krächzen hören, können wir es nicht Beseitigen Sie das Ereignis, dass der linke Frosch männlich und der rechte Frosch weiblich ist. Wir können nur das Ereignis eliminieren, dass beide weiblich sind, was das Ereignis, dass mindestens eine weiblich ist, wahrscheinlicher macht als die vorherige Einstellung.

Ich denke, der Grund, warum dies verwirrend ist, ist, dass wir natürlich denken, dass wir das lernen Mindestens einer ist männlich, sollte uns abgeneigt machen, das Froschpaar zu wählen. Es ist wahr, dass diese Informationen es weniger wahrscheinlich machen, dass mindestens eine Frau ist, aber auch, dass es eine volle Dreiviertel-Chance für mindestens eine Frau gab, bevor wir überhaupt etwas gelernt haben. Es ist die Mehrdeutigkeit der Informationen, die wir erhalten, weshalb wir die beiden Frösche immer noch dem einen vorziehen sollten.

Kommentare

• Danke dsaxton, intuitiv habe ich mich für die beiden Frösche entschieden, aber meine Argumentation sagte mir, dass beide Entscheidungen gleich wahrscheinlich waren.
• Danke dsaxton, ich vermute es ‚ s die Formulierung des Rätsels, das mich wirft. Wie angetroffen, sind die beiden Frösche nicht unterscheidbar (ohne weitere Informationen), daher sehe ich die Unterscheidung (M, F), (F, M) darin nicht als bedeutungsvoll an Ich bin nicht davon überzeugt, dass meine Argumentation fehlerhaft ist, aber ich entschuldige mich, wenn ich nur ein bisschen langsam bin.
• Nochmals vielen Dank, dsaxton. Wie oben erwähnt, ‚ Ich habe das mentale Problem gefunden, das ich hatte, und kann jetzt sehen, warum die Antwort die richtige Antwort ist (und die Frage, die ich tatsächlich zu beantworten versuchte). Nochmals vielen Dank für Ihre Hilfe, die Antwort zu sehen ist einfach nicht dasselbe wie zu haben die Hilfe, um es wirklich zu verstehen.

Ihre Intuition ist in diesem Fall korrekt. Wie das Problem angegeben ist, liegen Ihre Überlebenschancen bei 50%. Das Video gibt den Problembereich aufgrund der uns vorliegenden Informationen falsch an und kommt daher zu einer falschen Schlussfolgerung. Der richtige Problembereich enthält 8 Bedingungen und lautet wie folgt.

Wir haben zwei Frösche auf einem Baumstamm, und einer von ihnen hat gekrächzt, was sind unsere Möglichkeiten?(M bezeichnet männlich, F bezeichnet weiblich und c bezeichnet krächzend, erste Position ist links, zweite Position ist rechts)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Jeder Fall basiert gleich wahrscheinlich auf dem Informationen, die wir haben, wenn wir die Bedingungen beseitigen, wenn wir wissen, dass ein männlicher Frosch krächzt. Wir stellen fest, dass 4 Ergebnisse zu erwarten sind. Der linke männliche Frosch krächzte neben einem rechten männlichen Frosch, der still war. Der rechte männliche Frosch krächzte neben einem linken männlichen Frosch, der still war. Oder es gab einen krächzenden männlichen Frosch, gepaart mit einer einzelnen weiblichen Frosch in beide Richtungen. Um dies intuitiv zu verstehen, krächzen die beiden männlichen Frösche doppelt so häufig wie der einzelne männliche Frosch, der mit einer Frau gepaart ist. Daher müssen wir ihn entsprechend gewichten.

Sie können den Suchraum auch teilen durch krächzenden Frosch (C) und nicht krächzenden Frosch (N). Da der krächzende Frosch zu 100% männlich ist, können Sie ihn aus Ihrer Suche streichen, da er keine Chance hat, Ihnen beim Überleben zu helfen. Während der Autor beabsichtigte, ein „Monty Hall-Problem“ zu schaffen, schufen sie versehentlich ein „Jungen- oder Mädchen-Paradoxon“.

Die folgenden Fragen führen zu unterschiedlichen Ergebnissen:

Wenn es einen Mann gibt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere weiblich ist?

Wenn ein männlicher Frosch was krächzte Ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere weiblich ist?

Ich kenne weitere Informationen im zweiten Fall

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Eine klarere Antwort darauf, da die vorherige zu lang und nicht leicht zu verstehen war.

Die möglichen Ergebnisse sind unterschiedlich, obwohl ich dieselben Buchstaben verwendet habe. Um den Probenraum zu verdeutlichen, werde ich die möglichen Ergebnisse beschreiben.

MM -> „The Männchen ist links „-“ Ein zufälliges Männchen rechts „

MF -> „Das Männchen ist links“ – „Eine zufällige Frau rechts“

MM – -> „Das Männchen ist rechts“ – „Ein zufälliges Männchen links“

MF -> „Das Männchen ist rechts“ – „Eine zufällige Frau links“

Kommentare

• Sie zählen das MM doppelt Fall. Sie können ‚ nicht nur alle möglichen Szenarien aufzählen, ohne zu berücksichtigen, ob Sie ‚ über verschiedene Pfade zum selben Szenario gelangen.

Das Problem, das ich mit diesem Problem habe, ist, dass die Lösung offenbar unterschiedliche Regeln für was verwendet Es wird ein mögliches Ergebnis für die beiden Frösche als männlich und weiblich sowie als männlich und männlich angesehen.

Das F / M-Paar und das M / F-Paar sind unterschiedlich, da wir nicht wissen, ob das erste Frosch oder der zweite Frosch ist männlich, daher sind F / M und M / F zwei getrennte Möglichkeiten, obwohl das Ergebnis immer noch „ein weiblicher Frosch, ein männlicher Frosch“ beträgt.

Aber das M / M. Paar wird nur als ein mögliches Ergebnis angesehen, obwohl die gleiche Logik gelten sollte: Wir wissen nicht, welcher Frosch derjenige ist, der das Quaken verursacht hat, also könnte jeder Frosch derjenige sein, den wir gehört haben, und der andere könnte immer noch männlich sein , es ist einfach nicht passiert zu krächzen.

Commen ts

• Dies ist eher ein Kommentar als eine Antwort auf das Rätsel „. “ Bitte ändern Sie es in einen Kommentar und löschen Sie diese “ Antwort. “
• @DJohnson Tatsächlich ist dies eine Antwort auf das Rätsel, obwohl die spätere Antwort von Tomciopp dies klarer erklärt.

Nichts wissen: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Drei Paare mit mindestens einer Frau aus vier möglichen Kombinationen: $ 3/4 $ oder $ 75 \% $

Zu wissen, dass der erste männlich ist: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Ein Paar mit mindestens einer Frau aus zwei möglichen Kombinationen: $ 1/2 $ oder $ 50 \% $

Wissen, dass es mindestens einen Mann gibt: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Zwei Paare mit mindestens einer Frau aus drei möglichen Kombinationen: $ 2/3 $ oder $ 67 \% $

Bevor wir ein Quaken hören, gibt es 4 gleich wahrscheinliche Ergebnisse bei 2 Fröschen:

Frosch 1 ist männlich, Frosch 2 ist männlich

Frosch 1 ist weiblich, Frosch 2 ist männlich

Frosch 1 ist männlich, Frosch 2 ist weiblich

Frosch 1 ist weiblich, Frosch 2 ist weiblich

Unter der Annahme, dass Männer und Frauen gleichermaßen und unabhängig voneinander auftreten, ist unser Probenraum {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, und wir haben eine Wahrscheinlichkeit von 1/4 für jedes Element.

Sobald wir das Krächzen dieses Paares hören, wissen wir, dass mindestens ein Frosch männlich ist. Dieses Männchen kann gleichermaßen wahrscheinlich Frosch 1 oder Frosch 2 sein. Es gibt also zwei gleich wahrscheinliche Ergebnisse für Frosch 1:

Frosch 1 ist männlich

Frosch 1 ist zufälliger Frosch

Wenn man davon ausgeht, dass Männer und Frauen gleich und unabhängig voneinander auftreten, ist es wahrscheinlich, dass der zufällige Frosch ein zufälliger Mann oder eine zufällige Frau ist.

P (Frosch 1 ist zufälliger Mann, wenn Frosch 1 gegeben ist Zufälliger Frosch) = P (Frosch 1 ist zufällig weiblich gegeben Frosch 1 ist zufälliger Frosch) = 1/2

P (Frosch 1 ist zufälliger Mann und Frosch 1 ist zufälliger Frosch) = P (Frosch 1 ist zufällig Frosch) P (Frosch 1 ist ein zufälliger Mann, wenn Frosch 1 ein zufälliger Frosch ist) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Frosch 1 ist Zufällige Frau und Frosch 1 ist zufälliger Frosch) = P (Frosch 1 ist zufälliger Frosch) P (Frosch 1 ist zufälliger weiblicher Frosch 1 ist zufälliger Frosch) = (1/2) (1/2) = 1/4

Es gibt also 3 mögliche Ergebnisse für den Frosch 1:

Frosch 1 ist männlich

Frosch 1 ist zufällig männlich

Frosch 1 ist zufällig weiblich

und die Wahrscheinlichkeiten sind:

P (Frosch 1 ist männlich) = 1/2

P (Frosch 1 ist zufällig männlich) ) = 1/4

P (Frosch 1 ist zufällig weiblich) = 1/4

Für jedes mögliche Ergebnis für Frosch 1 gibt es nun 2 mögliche Ergebnisse für Frosch 2:

Frosch 2 ist männlich

Frosch 2 ist zufälliger Frosch

Für jedes mögliche Ergebnis für Frosch 1 ist es gleich wahrscheinlich, dass der zufällige Frosch ein zufälliger Mann oder eine zufällige Frau ist.

Für jedes mögliche Ergebnis für Frosch 1 gibt es drei mögliche Ergebnisse für Frosch 2:

Frosch 2 ist männlich

Frosch 2 ist zufällig männlich

Frosch 2 ist zufällig weiblich

P (Frosch 2 ist männlich gegeben Frosch 1 ist männlich) = 0

P (Frosch 2 ist männlich gegeben Frosch 1 ist zufällig männlich) = 1

P (Frosch 2 ist männlich, wenn Frosch 1 zufällig weiblich ist) = 1

P (Frosch 2 ist zufällig männlich, wenn Frosch 1 männlich ist) = 1/2

P (Frosch 2 ist zufälliger Mann, wenn Frosch 1 zufällig männlich ist) = 0

P (Frosch 2 ist zufälliger Mann, wenn Frosch 1 zufällig weiblich ist) = 0

P. (Frosch 2 ist zufällig weiblich gegeben Frosch 1 ist männlich) = 1/2

P (Frosch 2 ist zufällig weiblich gegeben Frosch 1 ist zufällig männlich) = 0

P (Frosch 2) ist zufällig weiblich gegeben Frosch 1 ist zufällig Fe männlich) = 0

P (Frosch 2 ist zufällig männlich und Frosch 1 ist männlich) = P (Frosch 1 ist männlich) P (Frosch 2 ist zufällig männlich, wenn Frosch 1 männlich ist) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (Frosch 2 ist zufällig weiblich und Frosch 1 ist männlich) = P (Frosch 1 ist männlich) P ( Frosch 2 ist zufällig weiblich gegeben Frosch 1 ist männlich) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Frosch 2 ist männlich und Frosch 1 ist zufällig männlich) = P (Frosch 1 ist zufälliger Mann) * P (Frosch 2 ist männlich, wenn Frosch 1 zufällig männlich ist) = (1/4) * 1 = 1/4

P (Frosch 2 ist männlich und Frosch 1 ist zufällig weiblich) = P (Frosch 1 ist zufällig weiblich) * P (Frosch 2 ist männlich gegeben Frosch 1 ist zufällig weiblich) = (1/4) * 1 = 1/4

Also, unser Der Probenraum ist {(männlich, zufällig männlich), (männlich, zufällig weiblich), (zufällig männlich, männlich), (zufällig weiblich, männlich)}, und wir haben eine Wahrscheinlichkeit von 1/4 für jedes Element.

P (F bei mindestens 1 M) = P (F und mindestens 1 Mann) / P (mindestens 1 M) = P (1 M und 1 F) / P (1 M oder 2 M) = P [( Männlich, zufällig weiblich), (zufällig weiblich, männlich)] / P [(männlich, zufällig männlich), (männlich, zufällig weiblich), (zufällig männlich, männlich), (zufällig weiblich, männlich)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Kommentare

• Haben Sie aus meiner Antwort kopiert und eingefügt und die Formatierung entfernt?
• Nun, zunächst einmal einen Teil einer anderen Person kopieren und einfügen ‚ Die Antwort von div, ohne sie zu erwähnen, ist inakzeptabel. Abgesehen davon, wenn Sie der Meinung sind, dass Sie ein anderes Ergebnis erzielt haben, gibt es eine präzisere Möglichkeit, dies zu erklären? Sie haben viele getrennte Gleichungen ohne Erklärung geschrieben.
• ‚ ist keine Literatur, aber dennoch unhöflich. Nun zu Ihrer Antwort gegenüber meiner: Ich finde Ihre unsinnig. Was bedeutet das Ergebnis? “ Frosch 2 ist zufälliger Frosch „?
• Ihre Antwort war die einzige Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten. Die Verwendung derselben Begriffe kann helfen, zu vergleichen und festzustellen, welcher Teil derselbe und welcher unterschiedlich ist. Ich kann sagen, ich finde andere Antworten auch unsinnig, aber ich habe es nicht gesagt, weil es unhöflich wäre;). Wenn Sie etw nicht verstehen, können Sie einfach um Klarstellung bitten. “ Frosch 2 ist zufälliger Frosch “ bedeutet, dass es nicht der männliche Frosch ist, von dem bekannt ist, dass er zu dem Paar gehört ….
• Es gibt zwei Zufallsquellen, eine vom männlichen Frosch, von dem bekannt ist, dass er zu dem Paar gehört, und die andere von der Froschpopulation. Da wir wissen, dass der männliche Frosch da ist, geht es bei der Unsicherheit nur um die Position. Ist es Frosch 1 oder Frosch 2? Oder ist es links oder rechts? Mein Rat ist, ein Baumdiagramm zu verwenden, um den Probenraum von Grund auf neu zu erstellen und alle verfügbaren Informationen zu verwenden.