Das Prinzip von Hamilton '

Die Notizen aus Woche 1 von John Baez Kurs in Lagrange-Mechanik gibt einen Einblick in die Motivationen für Handlungsprinzipien.

Die Idee ist, dass geringste Handlung als Erweiterung des Prinzips der virtuellen Arbeit angesehen werden kann. Wenn sich ein Objekt im Gleichgewicht befindet, ist keine Arbeit erforderlich, um eine beliebige kleine Verschiebung darauf vorzunehmen, d.h. e. Das Punktprodukt eines kleinen Verschiebungsvektors und die Kraft ist Null (in diesem Fall, weil die Kraft selbst Null ist).

Wenn ein Objekt beschleunigt, addieren wir eine „Trägheitskraft“ gleich $ \, – ma \, $ , dann hätte eine kleine, willkürliche, zeitabhängige Verschiebung von der wahren Flugbahn des Objekts mit $ \, F-ma, \, $ die wahre Kraft und Trägheitskraft hinzugefügt. Dies ergibt

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

From Dort führen einige in den Notizen gefundene Berechnungen zum stationären Aktionsintegral.

Baez diskutiert D „Alembert mehr als Hamilton, aber so oder so ist es ein interessanter Blick auf die Ursprünge der Idee.

Kommentare

• Beachten Sie, dass das Prinzip der virtuellen Arbeit D ‚ Alembert-Prinzip heißt: de.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Wie Sie aus dem Bild unten sehen können, soll die Variation des Aktionsintegrals minimal sein, daher muss $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ $ 0 $ sein. Andernfalls nehmen Sie nicht den wahren Pfad zwischen $ q_ {t_ {1}} $ und $ q_ {t_ {2}} $, sondern einen etwas längeren Pfad. Selbst wenn Sie $ \ delta S = 0 $ folgen, kann dies, wie Sie wissen, zu einem anderen Extrem führen.

Wenn Sie dem Link von jc folgen, finden Sie Auf einer allgemeinen Methode zur Dynamik , die wahrscheinlich Ihre Frage zu Hamiltons Argumentation beantwortet. Ich habe sie nicht gelesen es lohnt sich aber mit ziemlicher Sicherheit.

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• Dies scheint eine tautologische Antwort zu sein, da es sich genau um Hamilton handelt ‚ Prinzip, das verwendet wird, um überhaupt zum obigen Bild zu gelangen.
• Vielleicht wurde Ihnen das Prinzip von Hamilton ‚ beigebracht und Sie sind zu diesem Prinzip gelangt Bild als Erklärung, aber das Bild ist vollkommen allgemein. Es beschreibt die Variation einer Funktion mit festen Endpunkten.

Ich erzähle im Allgemeinen die Geschichte, dass das Aktionsprinzip ein weiterer Weg ist, um zu denselben Differentialgleichungen zu gelangen – Auf der Ebene der Mechanik sind die beiden also gleichwertig. Wenn es jedoch um die Quantenfeldtheorie geht, ist die Beschreibung in Form von Pfadintegralen über die potenzierte Wirkung wesentlich, wenn Instanton-Effekte berücksichtigt werden. So stellt man schließlich fest, dass die Formulierung in Bezug auf Handlungen grundlegender und körperlich solider ist.

Dennoch haben die Menschen kein „Gefühl“ für Handlungen, wie sie ein Gefühl für Energie haben.

Denken Sie daran, dass die Bewegungsgleichungen mit initial Bedingungen $ q (0), (dq / dt) (0) $ wurden zuerst vorgerückt und das Prinzip der geringsten Wirkung wurde später als Sequenz formuliert. Obwohl mathematisch schön und elegant, ist die Das Prinzip der geringsten Aktion verwendet eine zukünftige „Randbedingung“ $ q (t_2) $, die physikalisch unbekannt ist. Es gibt kein Prinzip der geringsten Aktion, das nur mit den Anfangsbedingungen arbeitet.

Außerdem wird impliziert, dass die Gleichungen haben physikalische Lösungen. Dies ist in der klassischen Mechanik so, aber in der klassischen Elektrodynamik falsch. Selbst wenn sie aus dem formal korrekten „Prinzip“ abgeleitet sind, können die Gleichungen auf physikalischer und mathematischer Ebene falsch sein Respekt, die Formulierung der richtigen physikalischen Gleichungen ist für Physiker eine grundlegendere Aufgabe, als sich auf ein „Prinzip“ zu verlassen, um Gleichungen „automatisch“ zu erhalten. Es sind wir Physiker, die für die korrekte Formulierung von Gleichungen verantwortlich sind.

In CED, QED und QFT müssen die falschen Lösungen „on go“ repariert werden, nur weil die Physik erraten und ursprünglich falsch implementiert wurde.

PS Ich möchte zeigen, wie das System in Wirklichkeit seine Flugbahn „wählt“: Wenn bei $ t = 0 $ das Teilchen einen Impuls $ p (t) $ hat, dann hat es beim nächsten Mal $ t + dt $ den Impuls $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Dieses Inkrement ist zeitlich ziemlich lokal, es wird durch den gegenwärtigen Kraftwert $ F (t) $ bestimmt, so dass keine zukünftige „Randbedingung“ es bestimmen kann. Die Flugbahn wird nicht aus virtuellen „ausgewählt“; Es wird durch die augenblicklichen Werte von Kraft, Koordinate und Geschwindigkeit „gezeichnet“.

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• Ich denke gerne, dass beide Optionen nur mathematisch sind Modelle und so ist keines realer. Weder das System wählt seine Flugbahn, noch bestimmt die Zukunft den Pfad mit den geringsten Aktionen. Die Nichtlokalität von QM führt zu ähnlichen Zweifeln.
• Erstaunlicherweise gibt es jetzt ein Prinzip der geringsten Wirkung, das nur unter den Anfangsbedingungen funktioniert! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Hier ist eine kostenlose arXiv-Version . Ohne den Artikel im Detail zu lesen, riecht es nach einem klassischen Keldysh-Formalismus , vgl. this und this Phys.SE-Beiträge.

Anstatt die Anfangsposition und den Impuls wie in Newtons Formalismus anzugeben, formulieren wir unsere Frage wie folgt neu:

Wenn wir die Anfangs- und Endpositionen angeben: $ \ textbf {Welchen Pfad nimmt das Partikel?} $

Lassen Sie“ s behaupten, wir können den Newtonschen Formalismus durch den folgenden Formalismus wiederherstellen, den sogenannten Lagrange-Formalismus oder das Hamilton-Prinzip.

Jedem in der obigen Abbildung dargestellten Pfad weisen wir eine Zahl zu, die wir die Aktion nennen

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

wobei dieser Integrand ist der Unterschied zwischen die kinetische Energie und die potentielle Energie.

$ \ textbf {Hamiltons Prinzip behauptet} $: Der wahre Weg des Teilchens ist ein Extremum von S.

$ \ textbf {Beweis:} $

1. Ändern Sie den Pfad leicht:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2.Halten Sie die Endpunkte des Pfads fest :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3. Nehmen Sie die Variation der Aktion vor $ S $:

Schließlich erhalten Sie

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

Die Bedingung, dass der Pfad, mit dem wir begonnen haben, ein Extremum der Aktion ist, ist

$$ \ delta S = 0 $$

, das für alle Änderungen $ \ delta \ vec {r} (t) $ gelten sollte, die wir am Pfad vornehmen. Dies kann nur geschehen, wenn der Ausdruck in $ [\ cdots] $ Null ist.Dies bedeutet

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Jetzt erkennen wir dies als $ \ textbf {Newtons Gleichungen} $. Das Erfordernis, dass die Aktion extremisiert wird, entspricht dem Erfordernis, dass der Pfad den Newtonschen Gleichungen entspricht.

Weitere Informationen finden Sie in dieser PDF-Vorlesung.

Ich hoffe, es hilft.

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• Wenn wir ein Teilchen sehen, das gezwungen ist, sich auf einer Kugel zu bewegen, gelangen wir zu Pfaden Eins ist ein Maximum oder ein Minimum. Ich glaube, ein Teilchen folgt dem Weg der geringsten Wirkung, aber die mathematische Gleichung δS = 0 gibt uns eine mehrdeutige Antwort, aber ein bestimmter Teil dieser Antwort enthält einen Weg der geringsten Wirkung. Sie können Arfken und Weber sehen.