Diese Frage mag etwas faul sein, aber kann mir jemand einen Beweis für die Hill Sphere-Formel geben? Gemäß Wikipedia lautet die Formel für den Radius $ r $
$$ r \ approx a (1-e) \ left (\ frac {m} {3M} \ right) ^ {1/3} $$
wobei ein Massenkörper $ m $ einen viel massereicheren Massenkörper $ M $ mit a umkreist Semi-Major-Achse $ a $ und Exzentrizität $ e $.
Kommentare
- Schauen Sie sich die Einführung in dieses Papier .
- Platzieren Sie eine Testmasse zwischen zwei Massen, nehmen Sie an, dass der Ursprung in der größeren Masse liegt, und berechnen Sie, wo die Größen beider Kräfte gleich sind?
- @Dave, dass ‚ ein ziemlich cooles Papier ist (ich ‚ hatte geplant, heute etwas zu erledigen, aber jetzt …) und Ich bin sicher, dass ‚ da drin ist; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ und “ Längeneinheit wird mit dem Faktor µ $ {} ^ {skaliert 1/3} $ “ aber ich ‚ sehe nicht, wie man die (1- e ) erhält in der Front so leicht.
- Weil ein (1-e) Periastron ist?
- Es scheint, dass sie ‚ tatsächlich eine Ableitung hinzugefügt haben auf der Wikipedia-Seite – Interessanterweise wird auf der Wikipedia-Seite nicht erwähnt, dass diese Oberfläche nicht kugelförmig ist. Sie bezieht sich auf den Verlust eines Partikels auf der Achse (zumindest während eines einzelnen Ereignisses – mehrere nicht resonante Ereignisse entfernen schließlich das gesamte Material außerhalb des Hill-Radius, der eine Kugel verlässt)
Antwort
Die Hill-Kugel ist etwas anders definiert als der Roche-Lappen Der Radius wird jedoch durch den Abstand zu den Lagrange-Punkten L 1 und L 2 angenähert.
Für Kreisbewegungen mit Winkelgeschwindigkeit $ \ omega $ um den Ursprung haben wir:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
Die Erdbeschleunigung von einer Punktmasse auf eine andere Masse an Position $ \ mathbf {r} $ wird durch das übliche Gesetz des umgekehrten Quadrats gegeben:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Betrachten Sie nun ein Zweikörpersystem mit Massen $ m_1 $ und $ m_2 $ , getrennt durch einen Abstand $ r $ umkreist ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt (com) in Abständen $ r_1 $ und $ r_2 $ .
sub zeigt > 1 < / sub >
Dies ist ein eindimensionales System, sodass wir von Vektoren zu Skalaren wechseln können. Aus der Definition des Massenschwerpunkts ergibt sich:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
Für die Umlaufbahn von $ m_2 $ um den Massenschwerpunkt ergibt das Gleichsetzen der Gravitationsbeschleunigung mit der erforderlichen Beschleunigung für Kreisbewegungen:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
Und dann $ r_2 $ in Bezug auf $ r_1 $ gibt Keplers drittes Gesetz an:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
Als nächstes finden wir die Abstand zum L1-Punkt, an dem sich die Gravitationskräfte des Primär- und Sekundärteils verbinden, um die erforderliche Beschleunigung für die Kreisbewegung bereitzustellen.Das Gleichsetzen der Beschleunigung für die Kreisbewegung mit den Gravitationskräften ergibt:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
Und Ersetzen von $ \ omega $ führt zu:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ rechts)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ left (r – h \ rechts) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Schreiben Sie dies dann in Bezug auf das Massenverhältnis $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ und den relativen Abstand um $ z = \ frac {h} {r} $ , was ergibt:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Dies führt zu einem Quintische Gleichung für $ z $ , die numerisch gelöst werden muss, da allgemeine Quintics keine algebraischen Lösungen haben (Ich bin nein Ich werde nicht so tun, als würde ich den Beweis dafür verstehen ).
Vorausgesetzt, wir befinden uns in einer Situation, in der $ m_1 \ gg m_2 $ , was eine gute Annäherung für die Planeten des Sonnensystems ist, können wir Annäherungen machen, um eine Lösung des Quintikums zu vermeiden. In diesem Fall ist die Hill-Kugel viel kleiner als der Abstand zwischen den beiden Objekten, was bedeutet, dass wir ungefähr approximieren können:
$$ \ begin {align} 1 + q & \ ca. 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ ca. 1 + 2z \ end {align} $$
Dabei ist die zweite Zeile die Binomialnäherung . Dies ergibt:
$$ 1 – z \ ca. 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Neu anordnen zu lösen für $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
Verwenden Sie dann die Definitionen von $ z $ und $ q $ dies wird
$$ h \ ungefähr r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Dies ist die übliche Formel für die Größe der Hill-Kugel.
Für L 2 , Der Lagrange-Punkt befindet sich jenseits der Sekundärseite, sodass die Gleichung aus Gravitationskraft und Kreisbewegung wie folgt lautet:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h „\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h“ \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h „^ 2} $$
Wobei $ h „$ der Abstand vom sekundären zum L 2 -Punkt ist.
Ersetzen Sie in $ \ o Mega $ und Umschreiben in Bezug auf $ q $ und $ z „= \ frac {h“} { r} $ ergibt:
$$ 1 + z „\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z“ \ right ) ^ {- 2} + qz „^ {- 2} $$
Auch dies ergibt eine Quintgleichung für $ z“ $ , aber wir können ähnliche Annäherungen an den Fall für L 1 machen:
$$ \ begin {align} 1 + q & \ ca. 1 \\ \ left (1 + z „\ right) ^ {- 2} & \ ca. 1 – 2z „\ end {align} $$
Dies ergibt:
$$ 1 + z“ \ ca. 1 – 2z “ + qz „^ {- 2} $$
Vereinfachen und erneutes Ersetzen der Variablen:
$$ h“ \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Dies funktioniert für Kreisbahnen. Bei exzentrischen Umlaufbahnen besteht der übliche Ansatz darin, einfach den Abstand $ r $ durch den perizentrischen Abstand $ a \ left (1) zu ersetzen – e \ right) $ wobei $ a $ die Hauptachse ist. Ein strengerer Ansatz wäre es, die Winkelgeschwindigkeit im Perizentrum zu verwenden und von dort abzuleiten, aber das überlasse ich dem interessierten Leser als Übung 🙂
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+1‚ Vergessen Sie nicht das quod erat demonstrandum !
Antwort
Die Hügelkugel ist nach John William Hill (1812–1879) und benannt Seine einfache Logik ergibt sich aus der Anwesenheit von drei Körpern (nehmen wir an, dass die Sonne die größte Masse mit der Erde als Sekundärmasse und einem Satelliten vernachlässigbarer Masse ist, der die Erde als dritte Masse umkreist), wo der Radius der Hügelkugel sein wird der größte Radius, in dem ein Satellit die Sekundärmasse (in diesem Fall die Erde) umkreisen könnte. Wenn seine Umlaufbahn den Radius der Hügel überschreitet, fällt er auf den Gravitationseinfluss des ersten Körpers (Sonne) und ist daher kein Satellit des Sekundärkörpers mehr.
Man könnte Newtons Gleichungen schreiben unter Verwendung der Idee, dass der Satellit die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie das sekundäre Objekt hat.Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit der Erde um die Sonne gleich der Winkelgeschwindigkeit des Satelliten um die Sonne ist. Eine Demonstration der Ableitung sowie des Roche-Grenzwerts finden Sie unter folgendem Link: