Aus mehreren Online-Quellen habe ich gelesen, dass $$ E \ propto A ^ 2 $$, aber als ich dies im Unterricht erwähnte, sagte mir mein Lehrer, dass ich falsch lag und dass es stattdessen direkt proportional zur Amplitude war.
Soweit ich weiß, sagte jede Website, auf die ich diesbezüglich gestoßen bin, dass dies der Fall ist. Mein Lehrer hat einen Doktortitel und scheint ziemlich erfahren zu sein, daher verstehe ich nicht, warum er einen Fehler machen würde. Gibt es Fälle, in denen $ E \ propto A $?
Ich habe auch diese Ableitung gesehen:
$$ \ int_0 ^ A {F (x) dx} = \ int_0 ^ A {kx dx} = \ frac {1} {2} kA ^ 2 $$
gefunden hier , hat jemand etwas dagegen, es etwas genauer zu erklären? Ich habe ein grundlegendes Verständnis dafür, was ein Integral ist, bin mir aber nicht sicher, was das Poster in der Link sagte. Ich weiß, dass es hier eine ziemlich gute Erklärung gibt , aber es scheint mir viel zu weit fortgeschritten zu sein (aufgegeben, als ich partielle Ableitungen gesehen habe, aber ich sehe, dass sie es sind im Grunde das gleiche später). Der erste, den ich verlinkt habe, scheint etwas zu sein, das ich verstehen könnte.
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- Sie stellen die richtigen Fragen und denken Vergessen Sie die Promotion und bitten Sie stattdessen Ihren Lehrer, ausführlich zu erklären, warum er $ E \ propto A $ denkt. Galileo hatte hier etwas Passendes zu sagen: " … die Autorität von tausend ist die bescheidene Argumentation eines einzelnen Individuums nicht wert ". Energien in linearen Systemen sind quadratische Funktionen verallgemeinerter Koordinaten, wie in Kyle ' s Antwort .
Antwort
Das Poster von diesem Link sagt, dass die Arbeit bis zum Frühjahr geleistet wurde (das ist das Hookesche Gesetz dort: $ F = -kx $) ist gleich der potentiellen Energie (PE) bei maximaler Verschiebung, $ A $; Dieses PE stammt aus der kinetischen Energie (KE) und ist gleich dem Integral des Hookeschen Gesetzes über den Bereich 0 (minimale Verschiebung) bis $ A $ (maximale Verschiebung).
Wie auch immer, Ihr Professor ist falsch. Die Gesamtenergie in einer Welle ergibt sich aus der Summe der Änderungen der potentiellen Energie, $$ \ Delta U = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) \ omega ^ 2y ^ 2, \ tag { PE} $$ und in kinetischer Energie $$ \ Delta K = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) v ^ 2 \ tag {KE} $$ wobei $ \ Delta m $ die Massenänderung ist. Wenn wir Nehmen wir an, dass die Dichte der Welle gleichmäßig ist, dann ist $ \ Delta m = \ mu \ Delta x $, wobei $ \ mu $ die lineare Dichte ist. Somit ist die Gesamtenergie $$ E = \ Delta U + \ Delta K = \ frac12 \ omega ^ 2y ^ 2 \, \ mu \ Delta x + \ frac12v ^ 2 \, \ mu \ Delta x $$ As $ y = A \ sin \ left (kx- \ omega t \ right) $ und $ v = A. \ omega \ cos (kx- \ omega t) $, dann ist die Energie proportional zum Quadrat der Amplitude: $$ E \ propto \ omega ^ 2 A ^ 2 $$
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- Dies ist wahrscheinlich irgendwo auf Wikipedia oder so leicht verfügbar, aber kann ich fragen, wohin Sie gehen? Gleichung, die Sie aufgelistet haben?
- @ D.W.: Entschuldigen Sie die sehr späte Antwort. Sie können sie auf dieser Hyperphysics-Site sehen. Sie können die Tatsache verwenden, dass $ U \ sim kx ^ 2 \ sim m \ omega ^ 2x ^ 2 $ und die Änderung von $ U $ mit einer Massenänderung in der Welle $ \ Delta m \ sim \ mu \ verbunden wären Delta x $ (mit $ \ mu $ der linearen Dichte).