Was ist eine einfache Beschreibung der Austauschwechselwirkung zwischen zwei Elektronen?
Zum Beispiel scheint mir dies die einzige zu sein Notwendige Bestandteile sind die Coulomb-Wechselwirkung und die Anforderung, dass die gesamte Wellenfunktion antisymmetrisch ist.
Kommentare
- Ihre Intuition ist korrekt. Eine mathematische Beschreibung, wie sich diese beiden Bestandteile zu Austauschwechselwirkungen zusammenschließen, finden Sie in Ashcroft & Mermin (Kapitel 32) [dies ist eine ziemlich Standardberechnung und I ' Ich bin mir sicher, dass es auch an vielen anderen Orten vorkommt.]
- Es ist auch in Griffiths Intro-Quantenlehrbuch enthalten. Irgendwo.
- Es hat nichts mit der Coulomb-Kraft zu tun, es würde auch eine Austauschinteraktion zwischen zwei ungeladenen, aber nicht unterscheidbaren Bosonen geben.
Antwort
Die Austauschinteraktion ist eine Ergänzung zu anderen Wechselwirkungen zwischen identischen Partikeln, die durch Permutationssymmetrie verursacht werden.
Diese Addition ist das Ergebnis einer bestimmten Form von Mehrpartikeln Wellenfunktion. Es liefert im Gegensatz zu „üblichen“ Wechselwirkungen keinen Beitrag zum Hamilton-Operator, erscheint jedoch als zusätzlicher Begriff in Gleichungen für einzelne -Partikelwellenfunktionen (z. B. Hartree-Fock-Gleichung).
Wechselwirkung normalerweise verbunden mit Energie und Kräften. Wir könnten die Austauschkorrektur als eine Kraft finden, die zu den Coulomb-Kräften hinzugefügt wird, aber wir sollten zuerst verstehen, was Kraft im Quantensystem ist.
Betrachten wir zwei Fermionen mit Einzelteilchen-Koordinatenwellenfunktionen $ \ psi_a ( x) $ und $ \ psi_b (x) $ und Spinwellenfunktionen $ \ phi_a (s) $ und $ \ phi_b (s) $. Die möglichen Zwei-Teilchen-Wellenfunktionen sind Singuletts mit symmetrischem Koordinatenteil $$ \ Psi_S (x_1) , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ und Triplett mit antisymmetrischer Koordinate Teil $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$
Lassen Sie den Zwei-Teilchen-Hamilton-Operator nicht von Drehungen abhängen: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ dann ist die durchschnittliche Energie der Wechselwirkung: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V. \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ rechts | V \ links | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ rechts > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ rechts | V \ links | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ rechts > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$
Der Begriff $ U_ \ text {ex} $ ist nicht nur dann Null, wenn die Partikel nahe genug beieinander liegen und Ihre Wellenfunktionen überlappen sich (siehe Bild unten). In der klassischen Grenze, wenn der Abstand $ L $ groß ist, ist die Überlappung Null und $ U_S = U_A = U $
Nehmen wir an, dass $ \ psi_a $ und $ \ psi_b $ überall nicht negativ sind und $ V $ als Coulomb-Interaktion fungiert (dh positiv und abnehmend, wenn der Abstand zunimmt). Dann $ U $ und $ U_ \ text { ex} $ sind positiv und die Energie des symmetrischen Koordinatenzustands (gegenüberliegende Stacheln) ist höher als die Energie des antisymmetrischen Koordinatenzustands (ähnliche Stacheln). Wenn die durchschnittlichen Positionen der Partikel festgelegt sind, werden die Spins durch die Austauschwechselwirkung in die gleiche Richtung gebracht.
Die Wechselwirkungskraft zwischen den Partikeln kann als die verallgemeinerte Kraft definiert werden, die dem Parameter L entspricht: $$ F = – \ frac {\ partielles U} {\ partielles L} $$ Innerhalb unserer Annahmen bezüglich $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ und $ V $, die Ableitung von $ U $ und $ U_ \ text {ex} $, sind negativ. Daher ist die „übliche“ Kraft positiv (Abstoßung) und die Austauschkraft ist positiv für symmetrische Koordinaten s tate und negativ für den antisymmetrischen Koordinatenzustand (Anziehung).
Also die Austauschinteraktion für den Fall von zwei Partikel können abhängig von der Spin-Konfiguration als zusätzliche Kraft betrachtet werden. Für mehrere Partikel ist dies komplizierter.
Kommentare
- Hallo, wie kann man die effektive Kraft der Austauschwechselwirkung für Fermion verstehen, die attraktiv ist? Sehr eingängig.