Erwarteter Wert der Gammaverteilung

Angenommen, Sie betreffen eine Zufallsvariable der Gamma-Verteilung mit der Form $ \ alpha > 0 $ und bewerten $ \ beta > 0 $ Parameter, dh $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, können Sie $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ auf folgende Weise finden:

Für jede Zufallsvariable X kontinuierlicher Verteilung (wie Gamma), für die $ f $ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezeichnet (in Ihrem Beispiel $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) und für jede Funktion $ g $ dieser Variablen (in Ihrem Fall $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), es gilt: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ begrenzt _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

In Ihrem Beispiel vereinfacht es sich sehr (achten Sie auf $ -3 $): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ Der Bruch hängt nicht von $ x $ ab Daher kann es außerhalb eines Integrals platziert werden.

Übrigens ist es für die diskrete Verteilung sehr ähnlich: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limit_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {wobei} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {bezeichnet die Unterstützung für X (eine Reihe von Werten, die es annehmen kann)} $$

Ich werde dich nicht länger in Atem halten. Denken Sie zunächst daran, dass $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

Lassen Sie $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. Die Kombination dieser beiden Ergebnisse ergibt eine einfache Beobachtung: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ Nacheinander: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Wenn Sie dies zweimal verwenden, erhalten Sie das Ergebnis :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ Letztendlich (da $ f _ {\ alpha-2} (x) $ auch PDF ist, dessen Integral $ 1 $ entspricht): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limit_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ begrenzt _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Diese obige Lösung gilt für diesen speziellen Fall, wurde jedoch als whuber hervorgehoben , der allgemeinere Fall für ein reales und positives $ p \ in \ mathbb {R}, ~ p > 0 $ es gilt: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Kommentare

• @TJ Phu Lassen Sie uns wissen, mit was Sie wirklich Probleme haben, vielleicht mit der Berechnung dieses Integrals? Wie auch immer, lass es uns wissen. Versuchen Sie jedoch, den Kommentaren von gung und Silverfish zu folgen und das Gesamtlayout der Frage zu verbessern.
• @TJ Phu Vielleicht meine allererste Bemerkung zu Raw Integration war etwas irreführend. Lassen Sie mich wissen, ob Sie meine Lösung vollständig verstanden haben (indem Sie einfach meine oder die Antwort akzeptieren / ankreuzen).

Ich würde es faul angehen: indem ich mit einer Definition beginne und mir genau anschaue, was sich daraus ergibt sehen Sie, ob mir schon jemand die Antwort gezeigt hat. Im Folgenden sind überhaupt keine Berechnungen erforderlich, und nur die einfachsten Regeln (von Exponenten und Integralen) sind erforderlich, um der Algebra zu folgen.

Beginnen wir mit der Gamma-Verteilung.Wählen Sie eine Maßeinheit für $ X $ , in der $ \ beta = 1 $ , damit wir können Sagen wir ziemlich, $ X $ hat eine $ \ Gamma (\ alpha) $ -Verteilung. Dies bedeutet, dass die Dichte nur für positive Werte positiv ist, wobei das Wahrscheinlichkeitsdichteelement durch

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 gegeben ist } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Wenn Sie neugierig sind, Der Ausdruck $ dx / x $ wird unter https://stats.stackexchange.com/a/185709 erläutert. a>. Wenn es Ihnen nicht gefällt, ersetzen Sie $ x ^ \ alpha dx / x $ durch $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Denken Sie daran, dass die Normalisierungskonstante dazu dient, das Integral von $ f_ \ alpha (x) dx zu erstellen $ Einheit, woraus wir schließen können, dass

$$ \ begin {align} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alpha )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {align} \ tag {1} $$

Es spielt keine Rolle, welche Zahl $ \ Gamma (\ alpha) $ ist es tatsächlich. Es genügt zu sehen, dass es gut definiert und endlich ist, vorausgesetzt $ \ alpha \ gt 0 $ und ansonsten divergiert.

Wenden wir uns nun den Erwartungsregeln zu. Das “ -Gesetz des unbewussten Statistikers “ besagt die Erwartung einer Funktion von $ X $ , wie z. B. $ X ^ p $ für eine Leistung $ p $ (was normalerweise der Fall ist) positiv, kann aber negativ und sogar komplex sein), wird durch Integrieren dieser Funktion von $ x $ gegen die Dichte erhalten:

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

Es ist Zeit zu starren. Wenn Sie das Integral ignorieren, ist der Integrand ein ausreichend einfacher Ausdruck. Schreiben Sie ihn nach den Regeln der Algebra neu und verschieben Sie dabei den konstanten Wert von $ 1 / \ Gamma (\ alpha) $ aus dem Integral:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

Das sollte schrecklich vertraut aussehen: it “ s genau wie eine andere Gamma-Verteilungsdichtefunktion, jedoch mit der Potenz $ p + \ alpha $ anstelle von $ \ alpha $ . Die Gleichung $ (1) $ sagt uns sofort ohne weitere Überlegungen oder Berechnungen, dass

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

Wenn Sie dies in die rechte Seite von $ (2) $ einfügen, erhalten Sie

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Es sieht so aus, als hätten wir es besser (der Realteil von) $ p + \ alpha \ gt 0 $ , damit dies konvergiert, wie bereits erwähnt.

Zur Überprüfung können wir unsere Formel verwenden, um die ersten Momente zu berechnen und sie beispielsweise mit was zu vergleichen div id = „c6b3069f86“>