Aceleración gravitacional en la Luna y Marte

Let » Veamos cómo se obtiene la aceleración debida a la gravedad para cualquier planeta, y luego podemos aplicar esto a la Tierra o la Luna o lo que queramos.

La ley de gravitación de Newton nos dice que la magnitud de la La fuerza gravitacional entre objetos de masas $ m_1 $ y $ m_2 $ viene dada por \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} donde $ r $ es la distancia entre sus centros de masa. Ahora, suponga que el objeto 1 es un planeta de masa $ m_1 = M $ y radio $ R $, y el objeto 2 es un objeto mucho más pequeño de masa $ m_2 = m $ ubicado a una altura $ h $ sobre la superficie del planeta. eso es pequeño comparado con el radio del planeta. La magnitud de la fuerza gravitacional entre los dos objetos será \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} por otro lado, la Segunda Ley de Newton dice nos dice que la aceleración del objeto 2 satisfará \ begin {align} F = ma \ end {align} La combinación de estos hechos, es decir, igualar los lados derechos, hace que la masa $ m $ salga de las ecuaciones y la aceleración debido a la gravedad del objeto de masa $ m $ se convierte en \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ left (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} donde en la segunda igualdad, he realizado una expansión de Taylor de la respuesta en términos del número pequeño $ h / R $. Observa que a cero El orden, es decir, la contribución dominante cuando el objeto 2 está cerca de la superficie del planeta, es una constante que es independiente de la altura y depende solo de la masa y el radio del planeta; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Esto es precisamente lo que normalmente llamamos la aceleración debida a la gravedad cerca del superficie de un planeta. Si ingresa los números para la Tierra, obtendrá \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ approx 9.8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} y yo » Te dejo a ti para determinar el número de otros planetas. La propiedad importante de esta aceleración debido a la gravedad es que escala linealmente con la masa $ M $ del planeta, y escala como la segunda potencia negativa del radio del planeta.

Comentarios

• Creo que también es útil mencionar los efectos de la fuerza centrífuga, debido a la velocidad angular de un cuerpo celeste. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Otro efecto de esto es que el cuerpo mismo se abulta alrededor del ecuador, aumentando el radio de la superficie cerca del ecuador (bajando cerca de los polos).

La constante de aceleración gravitacional definida como $ g $ para la Tierra depende de la masa de la Tierra y la distancia desde ella. La fórmula es $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Ver Newtons L aw of Universal Gravitation para obtener más detalles). Entonces $ g $ no es una constante incluso en la Tierra, sino que depende de su altitud, aunque bastante lentamente. Si estás en la luna, la masa de la luna $ (~ 10 ^ {22} kg) $ es menor que la de la tierra $ (~ 10 ^ {24} kg) $ y, por lo tanto, la fuerza gravitacional que sentirías, $ mg $ sería mucho menor debido a que $ g $ es más pequeño, alrededor de $ 1,62 m / s ^ 2 $.

Además, las unidades de $ g $ son $ m / s ^ 2 $ y no $ N / s ^ 2 $

Una manera fácil de pensar en esto es considerar que la aceleración de la gravedad, en la superficie de, digamos, un cuerpo planetario, depende esencialmente de dos cantidades: la masa del cuerpo y el radio. .

La aceleración superficial aumenta con la masa del cuerpo (si duplicas la masa, duplicas la aceleración) y disminuye con el cuadrado del radio (si duplicas el radio, la aceleración se cuadra).

Entonces, por ejemplo, el radio de la Luna es aproximadamente 0.273 veces el radio de la Tierra, pero la masa de la Luna es aproximadamente 0.0123 la masa de la Tierra. Entonces, esperaríamos que la aceleración en la superficie de la Luna fuera

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

y, efectivamente, la gravedad de la superficie de la Luna es aproximadamente $ 1.62 \ frac {m} {s ^ 2} $

Entonces, si conoces la masa y el radio de, digamos, Marte, puede determinar la gravedad de la superficie de Marte de la siguiente manera:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $