Cálculo del tiempo para alcanzar cierta velocidad con fuerza de arrastre

Si la fuerza de arrastre se modela como una función lineal de la velocidad $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, entonces el problema es sencillo . El balance de fuerza vertical para una gota que cae es $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$ que da la siguiente ecuación diferencial para la velocidad: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ En el caso límite de la velocidad máxima / aceleración cero $ (\ dot {v} = 0) $, el balance de fuerzas se simplifica a $$ mg = bv_ {max} , $$ o $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Volviendo a nuestra ecuación diferencial, si la velocidad inicial $ v (0) = 0 $, entonces la solución a esta EDO es $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Al definir la constante de tiempo como $ \ tau = \ frac { m} {b} $ y usando la definición de la velocidad terminal, la evolución temporal de la velocidad se simplifica a $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ La posición, si se desea, se encuentra con bastante facilidad realizando otra integración: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Suponiendo que la posición inicial $ y (0) = 0 $ y simplificando, la solución para la posición vertical es $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Así que ahora tenemos soluciones analíticas para la aceleración, velocidad y posición del objeto que cae como una función del tiempo y los parámetros del sistema, todos los cuales son conocidos ( excepto $ b $). Sin embargo, tenga en cuenta que el tiempo solicitado para alcanzar una velocidad de $ 0.63v_ {max} $ no es arbitrario. Después de que haya pasado una constante de tiempo, tendremos $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \%}. $$ Por lo tanto, simplemente necesitamos calcular el valor de la constante de tiempo y el valor resultante será su respuesta. En cuanto a tus compañeros de clase, no se equivocan. Nuestro objetivo es calcular $ \ tau $, y si observa detenidamente nuestras matemáticas anteriores, verá que $ \ tau $ de hecho es igual a la velocidad terminal dividida por $ g $. Las gráficas de octavas de las funciones de posición, velocidad y aceleración se incluyen a continuación como referencia (reemplace $ k $ con $ b $ en la segunda gráfica).

Comentarios

• Sí, nunca nos enseñaron eso ecuación a la que se vinculó. Pero gracias, esto es exactamente lo que estaba buscando.Solo quería saber si había un método más general para resolver esta pregunta que se suponía que pudiéramos resolver, y parece que la respuesta es no.
• @JakeChristensen Todavía puede haber otro forma de encontrar su respuesta, pero recuerde que el cálculo (al menos Newton ' s Cálculo) se inventó para resolver problemas de física 😉

Por lo general, el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad y, por lo tanto, la aceleración hacia abajo es

$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$

La solución a tal movimiento es $$ \ begin {alineado} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {alineado} $$

Entonces, ingrese la velocidad $ v $ que desea apuntar y le dará la distancia $ x $ y $ t $ para alcanzarlo.

PD. Si no conoce el parámetro de arrastre $ \ beta $ , pero en cambio conoce la velocidad máxima, puede estimarla a partir de la velocidad máxima resolviendo $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .