Mi pregunta es cómo calcular el error de tipo II $ \ beta $?
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Suponga que quiero probar $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (Necesito calcular el error de tipo II $ \ beta $, así que necesito corregir un $ \ mu $, digamos 1, en $ H_1 $).
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Suponga que la distribución de $ H_0 $ es $ F_0 $, $ H_1 $ es $ F_1 $, donde $ E [\ xi] = 0 $ si $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ si $ \ xi \ sim F_1 $.
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Ahora creo un estimador para $ \ mu $, digamos $ \ bar {X} _n $, y una estadística de prueba $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (supongamos que $ \ sigma $ es conocido).
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Ahora creo una regla de rechazo ($ H_0 $): $ S_n > b $.
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El error de tipo II se calcula como $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Mis preguntas son (quiero verificar tres cosas):
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La lógica de construcción anterior es correcta, ¿verdad?
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La distribución en «$ P_ {F_1} (S_n > b) $» es $ F_1 $, ¿verdad?
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[la mayoría se preocupa por] El $ S_n $ en «$ P_ {F_1} (S_n > b) $» debería usar $ F_0 $ para calcular, ¿verdad?
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Quiero decir, no importa el error de tipo I o tipo II que esté calculando, siempre necesito usar $ F_0 $ para calcular las estadísticas de la prueba, ¿verdad?
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Quiero decir, $ S_n $ siempre es $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ en el cálculo de errores tipo I o tipo II ación, pero no $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ al calcular $ \ beta $, ¿verdad?
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O, esto no debería ser un problema, porque las estadísticas de prueba son solo una función de muestra y no deben involucrar parámetros.
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Comentarios
- El error de tipo II es no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa, es decir, $ H_1 $ es verdadera. Creo que debería usar $ F_1 $ para calcular P pero no $ F_0 $ como escribió $ P_ {F_1} (S_n > b) $. También puede consultar el cálculo de potencia que se basa en el parámetro $ H_1 $ y el Tipo II $ \ beta $ = 1 potencia
- ¡Gracias! Tienes razón. Cometí un error. Es $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ para el error de tipo II.
Respuesta
Denote $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ sea la distribución bajo la hipótesis nula y $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ por debajo de $ H_1 $, por lo que tiene una estadística de prueba $ X $ y desea probar
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ versus $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
De la forma en que lo describe, desea realizar una prueba unilateral y define la región crítica en la cola derecha. Entonces, después de haber elegido un nivel de confianza $ \ alpha $, usará la distribución $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ para encontrar el valor de cuantil $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ tal que $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (asumo distribuciones continuas). El superíndice $ (0) $ indica que las probabilidades se miden bajo $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, por lo que necesita la distribución nula $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ para definir la región crítica, es decir, el cuantil $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
De una muestra puede observar un resultado $ x $ para la variable aleatoria $ X $ y el nulo será rechazado cuando $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. En otras palabras, su prueba decidirá que $ H_1 \ textrm {decidido como verdadero} \ iff x \ in [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
La potencia de su prueba es la probabilidad de que $ H_1 $ se decida como verdadero siempre que $ H_1 $ sea verdadero , entonces la potencia es la probabilidad de que $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ siempre que $ H_1 $ sea verdadero, este es el probabilidad de que $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ cuando la distribución verdadera es $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ o la potencia $ \ mathcal {P} $ es
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Donde el superíndice $ (1) $ indica que las probabilidades se calculan bajo $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Entonces, la potencia se mide con $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ pero necesitas el valor de $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ que se calcula con $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Usé la potencia $ \ mathcal {P} $ y el error de tipo II $ \ beta $ es $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
En su caso
Tiene razón cuando dice que «» La distribución en «$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ «es $ F_1 $» «
Sin embargo, para encontrar $ b $ tendrá que usar $ F_0 $. De hecho, $ b $ es el análogo de $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $