¿Cómo calcular el error relativo cuando el valor real es cero?

Hay muchas alternativas , dependiendo del propósito.

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Una común es la «Diferencia porcentual relativa», o RPD, que se utiliza en los procedimientos de control de calidad de laboratorio. Aunque puede encontrar muchas fórmulas aparentemente diferentes, todas se reducen a comparar la diferencia de dos valores con su magnitud promedio:

$$ d_1 (x, y) = \ frac {x – y} {( | x | + | y |) / 2} = 2 \ frac {x – y} {| x | + | y |}. $$

Esta es una expresión firmada , positiva cuando $ x $ excede $ y $ y negativa cuando $ y $ excede $ x $. Su valor siempre se encuentra entre $ -2 $ y $ 2 $. Al usar valores absolutos en el denominador, maneja los números negativos de una manera razonable. La mayoría de las referencias que puedo encontrar, como la Guía técnica de evaluación de la calidad de los datos y evaluación de la usabilidad de los datos del programa de reparación de sitios del DEP de Nueva Jersey , utilizan el valor absoluto de $ d_1 $ porque solo están interesados en la magnitud del error relativo.

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Un artículo de Wikipedia sobre Cambio y diferencia relativos observa que

$$ d_ \ infty (x, y) = \ frac {| x – y |} {\ max (| x |, | y |)} $$

se utiliza con frecuencia como prueba de tolerancia relativa en algoritmos numéricos de coma flotante. El mismo artículo también señala que fórmulas como $ d_1 $ y $ d_ \ infty $ pueden generalizarse a

$$ d_f (x, y) = \ frac {x – y} {f (x, y)} $$

donde la función $ f $ depende directamente de las magnitudes de $ x $ y $ y $ (generalmente asumiendo que $ x $ y $ y $ son positivos). Como ejemplos, ofrece sus medias máxima, mínima y aritmética (con y sin tomar los valores absolutos de $ x $ y $ y $ ellos mismos), pero se podrían contemplar otros tipos de promedios como la media geométrica $ \ sqrt {| xy |} $, la media armónica $ 2 / (1 / | x | + 1 / | y |) $ y $ L ^ p $ significa $ (| x | ^ p + | y | ^ p) / 2) ^ { 1 / p} $. ($ d_1 $ corresponde a $ p = 1 $ y $ d_ \ infty $ corresponde al límite como $ p \ a \ infty $). Se puede elegir un $ f $ basado en el comportamiento estadístico esperado de $ x $ y $ y $. Por ejemplo, con distribuciones aproximadamente logarítmicas normales, la media geométrica sería una opción atractiva para $ f $ porque es un promedio significativo en esa circunstancia.

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La mayoría de estas fórmulas tienen dificultades cuando el denominador es igual a cero. En muchas aplicaciones, establecer la diferencia en cero cuando $ x = y = 0 $ no es posible o es inofensivo.

Tenga en cuenta que todas estas definiciones comparten una invariancia fundamental propiedad: cualquiera que sea la función de diferencia relativa $ d $, no cambia cuando los argumentos son reescalados uniformemente por $ \ lambda \ gt 0 $:

$$ d (x, y) = d ( \ lambda x, \ lambda y). $$

Es esta propiedad la que nos permite considerar $ d $ como una diferencia relativa . Así, en particular, una función no invariante como

$$ d (x, y) =? \ \ Frac {| xy |} {1 + | y |} $$

simplemente no califica. Cualesquiera que sean las virtudes que pueda tener, no expresa una diferencia relativa.

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La historia no termina aquí. Puede que incluso nos resulte fructífero llevar un poco más lejos las implicaciones de la invariancia.

El conjunto de todos los pares ordenados de números reales $ (x, y) \ ne (0,0) $ donde $ (x, y) $ se considera igual que $ (\ lambda x, \ lambda y) $ es el Línea proyectiva real $ \ mathbb {RP} ^ 1 $. Tanto en el sentido topológico como en el algebraico, $ \ mathbb {RP} ^ 1 $ es un círculo. Cualquier $ (x, y) \ ne (0,0) $ determina una línea única a través del origen $ (0,0) $. Cuando $ x \ ne 0 $ su pendiente es $ y / x $; de lo contrario, podemos considerar que su pendiente es «infinita» (y negativa o positiva). Una vecindad de esta línea vertical consta de líneas con pendientes positivas o negativas extremadamente grandes. Podemos parametrizar todas esas líneas en términos de su ángulo $ \ theta = \ arctan (y / x) $, con $ – \ pi / 2 \ lt \ theta \ le \ pi / 2 $.Asociado con cada $ \ theta $ hay un punto en el círculo,

$$ (\ xi, \ eta) = (\ cos (2 \ theta), \ sin (2 \ theta)) = \ left (\ frac {x ^ 2-y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}, \ frac {2xy} {x ^ 2 + y ^ 2} \ right). $$

Cualquier distancia definida en el círculo puede, por lo tanto, usarse para definir una diferencia relativa.

Como ejemplo de a dónde puede llevar esto, considere la distancia habitual (euclidiana) en el círculo, en la que la distancia entre dos puntos es el tamaño del ángulo entre ellos. La diferencia relativa es mínima cuando $ x = y $, correspondiente a $ 2 \ theta = \ pi / 2 $ (o $ 2 \ theta = -3 \ pi / 2 $ cuando $ x $ y $ y $ tienen signos opuestos). Desde este punto de vista, una diferencia relativa natural para números positivos $ x $ y $ y $ sería la distancia a este ángulo:

$$ d_S (x, y) = \ left | 2 \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) – \ pi / 2 \ right |. $$

Para primer orden, esta es la distancia relativa $ | xy | / | y | $ – -pero funciona incluso cuando $ y = 0 $. Además, no explota, sino que (como una distancia con signo) está limitado entre $ – \ pi / 2 $ y $ \ pi / 2 $, como indica este gráfico:

Esto indica cuán flexibles son las opciones al seleccionar una forma de medir diferencias relativas.

Comentarios

• Gracias por la respuesta completa, ¿cuál crees que es la mejor referencia para esta línea: » se usa con frecuencia como una prueba de tolerancia relativa en algoritmos numéricos de punto flotante. El mismo artículo también señala que fórmulas como d1d1 y d∞d∞ pueden generalizarse a »
• @Hammad ¿Seguiste el enlace al artículo de Wikipedia?
• ¡Sí! Eché un vistazo a Wikipedia; creo que ‘ s no es una referencia real (también esa línea no tiene ninguna referencia en la wiki)
• por cierto, no importa, encontré una referencia académica para esto 🙂 tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.1985.10479385
• @KutalmisB Gracias por notar que: el » min » no ‘ no pertenece en absoluto. Parece que pudo haber sido un vestigio de una fórmula más compleja que manejó todos los signos posibles de $ x $ y $ y $ que luego simplifiqué. Lo he eliminado.

Primero, tenga en cuenta que normalmente toma el valor absoluto al calcular el relativo error.

Una solución común al problema es calcular

$$ \ text {error relativo} = \ frac {\ left | x _ {\ text {true}} – x _ {\ text {prueba}} \ right |} {1+ \ left | x _ {\ text {true}} \ right |}. $$

Comentarios

• Esto es problemático porque varía según las unidades de medida elegidas para los valores.
• Eso ‘ es absolutamente cierto. Esto no es ‘ una solución perfecta al problema, pero es un enfoque común que funciona razonablemente bien cuando $ x $ está bien escalado.
• ¿Podría explicarlo en detalle? su respuesta sobre lo que quiere decir con » bien escalado «? Por ejemplo, suponga que los datos surgen de la calibración de un sistema de medición química acuosa diseñado para concentraciones entre $ 0 $ y $ 0.000001 $ moles / litro que puede lograr una precisión de, digamos, tres dígitos significativos. Por lo tanto, su » error relativo » sería constantemente cero, excepto por mediciones obviamente erróneas. A la luz de esto, ¿cómo exactamente cambiaría la escala de dichos datos?
• Su ejemplo es uno en el que la variable ‘ t no está bien escalada. Por » bien escalado «, me refiero a que esa variable se escala para que tome valores en un rango pequeño (por ejemplo, un par de órdenes de magnitud) cerca de 1. Si su variable adquiere valores de muchos órdenes de magnitud que usted ‘ tiene problemas de escala más serios y este enfoque simple no es ‘ t va a ser adecuado.
• ¿Alguna referencia para este enfoque? ¿El nombre de este método? Gracias.

Encontrar MAPE,

Es un tema muy debatible y muchos colaboradores de código abierto han discutido sobre el tema anterior. Los desarrolladores siguen el enfoque más eficiente hasta ahora. Consulte este RP para obtener más información.

Estuve un poco confundido con esto por un tiempo. Al final, es porque si está tratando de medir el error relativo con respecto a cero, entonces está tratando de forzar algo que simplemente no existe.

Si lo piensa bien, está comparando manzanas con naranjas cuando compara el error relativo con el error medido desde cero, porque el error medido desde cero es equivalente al valor medido (por eso obtiene un error del 100% cuando divide por el número de prueba).

Por ejemplo, considere medir el error de la presión manométrica (la presión relativa de la atmosférica) frente a la presión absoluta. Digamos que usa un instrumento para medir la presión manométrica en condiciones atmosféricas perfectas, y su dispositivo midió la presión atmosférica en un punto para registrar un error del 0%. Usando la ecuación que proporcionó, y asumiendo primero que usamos la presión manométrica medida, para calcular el error relativo: $$ \ text {error relativo} = \ frac {P_ {gauge, true} – P_ {gauge, test}} {P_ {gauge, true}} $$ Luego, $ P_ {gauge, true} = 0 $ y $ P_ {gauge, test} = 0 $ y no obtiene un error del 0%, en su lugar no está definido. Esto se debe a que el error porcentual real debería estar utilizando los valores de presión absoluta como este: $$ \ text {error relativo} = \ frac {P_ {absoluto, verdadero} -P_ {absoluto, test}} {P_ {absolute, true}} $$ Ahora $ P_ {absolute, true} = 1atm $ y $ P_ {absolute, test} = 1atm $ y obtiene un error del 0%. Esta es la aplicación adecuada del error relativo. La aplicación original que usaba presión manométrica era más como «error relativo del valor relativo», que es algo diferente al «error relativo». Debe convertir la presión manométrica a absoluta antes de medir el error relativo.

La solución a su pregunta es asegurarse de que está tratando con valores absolutos al medir el error relativo, de modo que el cero no sea una posibilidad. Entonces, en realidad, está obteniendo un error relativo y puede usarlo como una incertidumbre o una métrica de su error porcentual real. Si debe ceñirse a los valores relativos, entonces debería usar el error absoluto, porque el error relativo (porcentaje) cambiará dependiendo de su punto de referencia.

Es difícil poner una definición concreta en 0. .. «Cero es el número entero denotado 0 que, cuando se usa como número de conteo, significa que no hay objetos presentes». – Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/Zero.html

Siéntase libre de elegir, pero cero esencialmente no significa nada, no está ahí. Es por eso que no tiene sentido usar la presión manométrica al calcular el error relativo. Presión manométrica , aunque útil, asume que no hay nada a la presión atmosférica. Sabemos que no es así, porque tiene una presión absoluta de 1 atm. Por lo tanto, el error relativo con respecto a nada, simplemente no existe, no está definido .

Siéntase libre de argumentar en contra de esto, en pocas palabras: cualquier solución rápida, como agregar uno al valor inferior, es defectuosa y no es precisa. Todavía pueden ser útiles si simplemente está tratando de minimizar el error. Sin embargo, si está intentando realizar mediciones precisas de la incertidumbre, no tanto …