¿Cómo calcular la altura de una celosía hcp?

Lo intentaremos utilizando las similitudes entre hcp y ccp. Aquí, sabemos que $ hcp $ y $ ccp $ tienen una red similar, excepto por el hecho de que $ hcp $ es de tipo ABAB mientras que $ ccp $ es de tipo ABCABC. Por lo tanto, también sabemos que su fracción de empaque $ (\ phi) $ es la misma y $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Ahora, como mencionaste, Volumen de la red hcp $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Hay 6 átomos en total en hcp. Por lo tanto $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Simplificando esto obtenemos la altura de la celosía hcp $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$

Comentarios

• Obtenemos que su fracción de empaque es igual después de evaluar el volumen desde la altura, etc. Tu respuesta funciona al revés.

Para calcular la altura de una celda unitaria, considera un vacío tetraédrico en una disposición de embalaje cerrado hexagonal. Se puede imaginar como 3 esferas sólidas tocándose entre sí y en el punto central, tienes otra esfera apilada sobre ellas. Se puede ver una versión interactiva en este sitio . La situación se ve así:

Si unes los centros de estas cuatro esferas, obtendrás un tetraedro. Eso es básicamente una pirámide con una base triangular. Supongo que cada borde de nuestro tetraedro es igual a $ a $.

Ahora, tienes una pirámide ($ ABCD $), con una base equilátera ($ \ Delta BCD $), me gustaría que cayeras una perpendicular desde el punto más alto ($ A $) hasta la base triangular central ($ G $). Si me estás siguiendo correctamente, tendrás una figura como esta:

Todo lo que tenemos que hacer hacer ahora es calcular la longitud $ AG $. Para esto, simplemente use el teorema de Pitágoras en $ \ Delta AGD $.

$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$

Aunque sabemos que $ AD = a $, el lado $ GD $ permanece desconocido. Pero eso es fácil de calcular. El punto $ G $ es el centroide de $ \ Delta BCD $. Por tanto, la longitud $ GD $ es igual a $ a / \ sqrt {3} $. Al agregar los valores en nuestra primera ecuación, obtenemos $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Pero tenga en cuenta que esto es la mitad de la altura de nuestra celda unitaria. Por lo tanto, la altura requerida es $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.

En la estructura hexagonal más compacta, $ a = b = 2r $ y $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , donde $ r $ es el radio atómico del átomo. Los lados de la celda unitaria son perpendiculares a la base, por lo que $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .

Para un estructura empaquetada, los átomos en las esquinas de la base de la celda unitaria están en contacto, por lo que $ a = b = 2 r $ . La altura ( $ c $ ) de la celda unitaria, que es más difícil de calcular, es $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .

Deje que el borde de la base hexagonal sea igual a $ a $

Y la altura del hexágono sea igual $ h $

Y el radio de la esfera es igual a $ r $

La esfera central de la primera capa se encuentra exactamente sobre el vacío de la segunda capa B.

La esfera central y las esferas de la segunda capa B están en contacto

Entonces, en $ \ Delta PQR $ ( un triángulo equilátero):

$ \ overline {PR} = 2r $ , Dibuja $ QS $ tangente en los puntos

$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$

$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$

$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$

$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$

$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$

$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$

Por lo tanto, en el cálculo de la eficiencia de empaque de hcp arr angustia, la altura de la celda unitaria se toma como $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .

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