Anteriormente, calculé teóricamente la velocidad de un bb, acelerado por la presión del aire, cuando sale de un barril. En resumen, calculé que mi velocidad era de unos 150 m / s. Sin embargo, quería una velocidad más realista. Busqué la ecuación de arrastre e intenté aplicarla para obtener una velocidad más realista, pero no creo que mi respuesta sea correcta. Esto es lo que usé:
$ F_d = \ frac {1} {2} pv ^ 2C_DA $
$ p $ = densidad de masa del fluido (aire) = 1.23Kg / $ m ^ 3 $
$ v $ = velocidad de flujo relativa a la fluido = 150 m / s
$ C_D $ = coeficiente de arrastre = .47 (para una esfera)
$ A $ = área de referencia = $ \ pi * (0.003m) ^ 2 $ = 2.827 * 10 $ ^ {- 5} m ^ 2 $ (sección transversal de un bb de 6 mm)
$ F_d $ = $ \ frac {1} {2} * \ frac {1.23Kg} {m ^ 3} * (\ frac {150m} {s}) ^ 2 * 2,87 * 10 ^ {- 5} m ^ 2 $
$ F_d $ = $ \ frac {.184 Kg * m} {s ^ 2} $ = $ .184N $
mi respuesta resultó ser .18N de fuerza. Teniendo en cuenta que la fuerza en el bb por la presión del aire es 14N, la fricción del aire solo ralentizar el bb menos del 1%. ¿Hay algo que esté haciendo mal porque parece que un bb se ralentiza significativamente con la distancia que recorre? Además, ¿hay alguna forma de explicar el aumento de la presión del aire externo que empuja hacia atrás el pedalier cuando comprime el aire mientras acelera a través del cañón?
Comentarios
Respuesta
Si idealizamos el escenario lo suficiente, este es un ejercicio simple de ecuaciones diferenciales, así que pongámonos manos a la obra. Primero, sabemos que su velocidad inicial es $ 150 \ text {m / s} $, pero esa no es de ninguna manera su velocidad final; obviamente, el bb se ralentiza a medida que viaja por el aire! Supongamos que en el momento en que la bola sale del cañón, ya no se empuja (como señaló Steevan). Entonces, la única fuerza que actúa sobre ella es la resistencia del aire. Entonces la pregunta es, ¿por qué la bola se ralentiza significativamente? con la distancia recorrida, podemos determinar esto exactamente, asumiendo que el modelo es correcto.
Ahora, el modelo que está usando (aparentemente) para la resistencia del aire se da como
$$ F_d = \ frac {1} {2} pv ^ 2C_DA. $$
¡Queremos ver cómo cambia la velocidad en función de la distancia! Pero conocemos la segunda ley de Newton, así que podemos escribir que
$$ F = m \ frac {dv} {dt} = m \ frac {dv} {dx} \ frac {dx} {dt} = mv «v $$
donde $ v $ ahora es una función de la distancia (esto usa la regla de la cadena – ¡espero que se sienta cómodo con eso!).
Ahora, podemos escribir nuestra ecuación diferencial:
$$ mv «v = – \ frac {1} {2} pv ^ 2 C_DA. $$
Nota: hay un signo negativo allí porque la fuerza se opone a la dirección del movimiento. Es decir, la fuerza apunta hacia atrás, y la partícula tiene un positivo (f hacia adelante) velocidad. Simplificando, obtenemos
$$ v «= – \ frac {1} {2m} pC_DAv. $$
Ahora, esta es una ecuación diferencial simple para resolver: separamos variables, es decir, $ \ frac {v «} {v} = – \ frac {1} {2m} pC_DA, $ y luego haciendo más magia con las reglas de la cadena, terminamos con
$$ \ frac {dv } {v} = – \ frac {1} {2m} pC_DA \, dx. $$
Ahora podemos integrar ambos lados y encontrar nuestra solución:
$$ \ int_ {v (0)} ^ {v (x)} \ frac {dv} {v} = – \ frac {1} {2m} pC_DA \ int_0 ^ x dx, $$ o $$ v (x) = v ( 0) \ exp {\ left (- \ frac {1} {2m} pC_DA x \ right)}. $$ Finalmente, podemos introducir la condición inicial, que en $ x = 0 $, la velocidad es $ 150 \ text {m / s} $:
$$ v (x) = (150 \ text {m / s}) \ exp {- \ left (\ frac {1} {2m} pC_DA x \ right )}. $$
Finalmente, para obtener una respuesta numérica, es posible que desee introducir sus constantes conocidas. Desafortunadamente, para esto necesitas conocer la masa del bb! Por el bien del argumento, supongamos una masa de $ 0.12 \ text {g} $, la masa más común para airsoft bbs, según Wiki – Airsoft Pellets . Entonces, ahora podemos calcular la velocidad del bb mientras viaja, sabiendo que $ \ frac {1} {2} pC_D A = 0.00817 \ text {g / m} $!
¡Ahora tenemos una función para la velocidad:
$$ v (x) = (150 \ text {m / s}) \ exp {(- 0.0681x)}. $$
Por ejemplo, para encontrar la distancia a la que la velocidad se reduce a la mitad, resolveríamos
$$ 75 \ text {m / s} = (150 \ text {m / s}) \ exp {(- 0.0681x)}, $$
que produce una distancia de aproximadamente 10 metros.
Ahora ve por qué el bb se ralentiza significativamente con la distancia: es un decaimiento exponencial, que tiende para disminuir la cantidad una gran cantidad al principio, con la cantidad de disminución disminuyendo con el tiempo (o en este caso, la distancia).
Respuesta
Tienes una situación diferente cuando la bala está dentro del cañón de la pistola. Suponiendo que el bb está bien ajustado en el cañón (y debería estarlo), hay aire presurizado empujándolo. El aire está haciendo un trabajo de expansión en el bb mientras lo hace. Debido a esto, es necesario utilizar la relación termodinámica para el proceso involucrado. Si está utilizando un volumen constante de gas a alta presión para empujar el bb fuera del barril, es muy probable que el proceso sea adiabático (sin transferencia de calor) porque ocurre muy rápido. Si ese es el caso, consulte el siguiente enlace: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/adiab.html
it seems that a bb slows down significantly with the distance it travelsSupongo que tiene algunos datos para poder decir esto: averigüe a partir de estos datos cuál es realmente la desaceleración y compárelo con la fuerza que encontró. Tal vez coincida