Supongamos que tenemos hamiltoniano en $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dagger} + A)) $$ También sabemos $ AA ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} A-1 $ y $ A ^ 2 = 0 $, dejando que $ W = A ^ {\ dagger} A $
¿Cómo podemos expresar $ H $ como $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Hasta ahora he demostrado que si consideramos los valores propios de $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Implica que $ A | \ psi \ rangle $ y $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ también son vectores propios de $ W $ con valor propio $ 1-w $. Usando $ A ^ 2 = 0 $ encontramos que $ w = 0 $ o $ 1 $
No estoy completamente seguro de cómo se expresan los operadores como matrices, ya que la mayoría de mi curso ha estado usando la notación de función de onda, realmente agradecería que alguien pudiera explicar los siguientes pasos aquí solo para poder tener una comprensión más rigurosa de ellos.
Comentarios
- ¿Puedes resolver para A, de las 2 ecuaciones que escribiste? suponga números complejos generales a, b, c, d como los valores de la matriz de A. Sospecho que esto podría funcionar.
Respuesta
Como @MichaelBrown ha señalado en la respuesta, para obtener el elemento de la matriz solo tiene que intercalar el operador entre dos estados. Entonces, en el caso de su $ H $ hamiltoniano, los elementos de la matriz se dan como $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Debo señalar que el $ i Los $ «que uses deben ser el conjunto de bases en el que estás. Si tienes un estado $ \ psi $, entonces si $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ solamente que puede expresar los elementos de la matriz de su operador de esta manera. Si intercala el operador entre el estado mismo, terminará con la expectativa del estado. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Comentarios
- Gracias por tomarse el tiempo para responder, sin embargo, como le dije a MichaelBrown, ¿cómo puedo aplicar esto a esta situación? Donde todo lo que sé son dos autovectores y sus valores propios correspondientes.
Respuesta
El elemento de matriz $ O_ {ij} $ de un operador está definido por $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ y es tradicional que el índice $ i $ etiquete la fila y $ j $ la columna. De esta manera, la multiplicación de matrices funciona como usted esperaría: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ que puede mostrar insertando un conjunto completo de estados.
Comentarios
- Gracias por su respuesta, sin embargo, ¿cómo puedo aplicar esto a esta situación? Donde todo lo que sé son dos autovectores y sus correspondientes autovalores.