¿Cómo funciona la flotabilidad?

Idea básica

Imagine en su mente un océano de agua profundo. Imagine una columna de agua que va desde la superficie hasta una profundidad $ d $. Esa columna de agua tiene un peso de $ W $. Por lo tanto, existe una fuerza descendente de magnitud $ W $ en esa columna de agua. Sin embargo, sabe que la columna de agua no se está acelerando, por lo que debe haber una fuerza ascendente de magnitud $ W $ empujando esa columna. Lo único debajo de la columna es más agua. Por lo tanto, el agua a la profundidad $ d $ debe estar empujando hacia arriba con fuerza $ W $. Ésta es la esencia de la flotabilidad. Ahora hagamos los detalles.

Detalles

El peso $ W $ de una columna de agua de área transversal $ A $ y altura $ d $ es

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

donde $ \ rho _ {\ text {water}} $ es la densidad del agua. Esto significa que la presión del agua a la profundidad $ d $ es

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}}. $$

Ahora suponga que coloca un objeto con un área de sección transversal $ A $ y una altura $ h $ en el agua. Hay tres fuerzas sobre ese objeto:

1. $ W $: El objeto «s propio peso.
2. $ F _ {\ text {above}} $: La fuerza del agua sobre el objeto.
3. $ F _ {\ text {below}} $: La fuerza del agua debajo del objeto.

Suponga que la parte inferior del objeto está a la profundidad $ d $. Entonces la parte superior del objeto está a la profundidad $ d-h $. Usando nuestros resultados de antes, tenemos

$$ F _ {\ text {below}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {above}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {water}} $$

Si el objeto está en equilibrio, es no acelera, por lo que todas las fuerzas deben equilibrarse:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {above}} & = & F _ {\ text {below}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {agua}} A \\ W & = & h A \ rho _ {\ text {agua}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {agua}} \ end { eqnarray} $

donde en la última línea definimos el volumen del objeto como $ V \ equiv h A $. Esto dice que la condición para el equilibrio es que el peso del objeto debe ser igual a su volumen multiplicado por la densidad del agua. En otras palabras, el objeto debe desplazar una cantidad de agua que tenga el mismo peso que el objeto. Esto es la ley habitual de la flotabilidad.

De esta descripción, creo que puede extenderse al caso del aire en lugar del agua, y el gradiente de presión horizontal en lugar de vertical.

Creo que la presión que actúa sobre la superficie de la cosa más ligera tiene algo que ver, pero eso es sobre eso.

Este es en realidad el principio y el final de TODA la historia. Esto, en teoría, es todo que necesita saber sobre la flotabilidad. Veamos cómo se desarrolla esta afirmación y cómo conduce a los otros conocimientos que ha obtenido sobre la flotabilidad.

Simplemente imagine un diagrama de cuerpo libre para el cuerpo flotante / sumergido. Las únicas fuerzas sobre él están la presión, en todas partes normales a la superficie del cuerpo, y el peso del cuerpo.

La fuerza neta sobre el cuerpo del líquido circundante es entonces:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ etiqueta {1} $$

donde sumamos las fuerzas de presión $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ que actúan sobre los elementos del área $ \ mathrm {d} S $ en la dirección de la unidad normal $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ como función de la posición $ \ mathbf {r} $ sobre la superficie de la interfaz $ S $ entre el fluido y el cuerpo. Eso es todo. Por supuesto, es difícil ver solo (1) lo que le sucederá a un cuerpo empapado de líquido, así que pasemos a respuestas más prácticas.

Hacemos un pequeño truco: resulta que siempre puede asumir para problemas de flotabilidad que la superficie $ S $ en (1) es un límite cerrado de un volumen (eso es incluso cuando se trata de problemas como barcos que, idealmente, son no totalmente sumergido y el límite cerrado parecería inaplicable a primera vista). Primero formamos el producto interno de $ \ mathbf {F} $ con un vector unitario arbitrario $ \ mathbf {\ hat {u}} $ y luego, dada la superficie cerrada, podemos aplicar el teorema de divergencia a (1) para el volumen $ V $ dentro de la superficie cerrada $ S = \ partial \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ V parcial} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

que, dado que el vector unitario $ \ mathbf {\ hat {u}} $ es arbitrario, significa:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

y vamos a imaginar el campo de presión $ p (\ mathbf {r}) $ que estaría presente en el fluido dentro de la superficie si el fluido no fuera desplazado por el cuerpo tomando el volumen $ V $. De (2) podemos ver inmediatamente la segunda pieza de kn reconocimiento del que ha oído hablar:

los globos obtienen su «sensación de caída» a partir de una diferencial de presión . [negrita mía]

es decir, no hay ninguna fuerza de flotación neta sobre el cuerpo a menos que la presión $ p $ varíe de lugar a lugar. De lo contrario, $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ es idénticamente nada.

Si no se siente completamente cómodo con el teorema de divergencia, piense y analice un cubo sumergido. En un fluido donde la presión no varía con la posición, la fuerza en cada cara está exactamente equilibrada por la fuerza opuesta en la cara opuesta. Otro caso que da intuición es una esfera en un fluido con una presión constante en todas partes: la fuerza en cualquier punto está precisamente equilibrada por la fuerza opuesta en el punto antípoda. El argumento del teorema de la divergencia simplemente te permite inferir la generalidad de conclusiones como esta que puedes hacer para objetos simétricos.

Ahora pasemos a un campo de presión que te resultará atractivo como buceador; tomando la dirección $ \ mathbf {\ hat {z}} $ como hacia abajo, el campo de presión dentro de un fluido quieto que se encuentra en la superficie de un planeta de radio mucho mayor que las profundidades que debemos considerar es:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

donde $ \ rho $ es la densidad del fluido, $ g $ la aceleración gravitacional y $ p_0 $ la presión en $ z = 0 $. Si conectamos esto en (2) obtenemos:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

donde $ V_f $ es el volumen de fluido desplazado. Este es, por supuesto, el principio de Arquímedes; se mantiene para regiones de fluido lo suficientemente pequeñas como para que la variación de presión sea una función lineal de la posición. Aunque parece estar diciendo que el «fluido desplazado empuja hacia atrás» tantas explicaciones vagas del estado de flotabilidad, pero esto es una tontería. El fluido desplazado ni siquiera está ahí: el principio es simplemente el resultado de aplicar trucos matemáticos para traducir el principio fundamental, que está incorporado en el texto que cité en la primera línea de esta respuesta y en (1) y el » retroceso de fluido desplazado «simplemente un mnemotécnico para recordar el principio.

Dos comentarios más están en orden:

1. En primer lugar, tenga en cuenta que la respuesta en (4) es independiente de $ p_0 $, por lo tanto, si el cuerpo no es completamente sumergido (como el casco de un barco en funcionamiento), entonces simplemente podemos tomar la intersección del volumen con el fluido como el volumen $ V $; la intersección de la superficie del fluido con el volumen delimita el volumen reducido y la contribución de fuerza en la cara superior no es nada (ya que podemos establecer arbitrariamente $ p_0 = 0 $ sin cambiar nuestros resultados).
2. En segundo lugar, nuevamente, si no se siente cómodo con el teorema de divergencia, haga el análisis para un cubo con sus bordes verticales y horizontales como ejemplo aclaratorio. Aunque la fuerza de presión varía a través de las superficies verticales, las superficies de presión en cada cara vertical todavía están exactamente opuestas por las de la cara opuesta. La fuerza neta es la diferencia entre la fuerza en las caras inferior y superior del cubo, que, por (3), es la fuerza calculada por el principio de Arquímedes.

Como buceador, sabes que la presión aumenta cuando profundizas.

Imagina un cilindro sostenido verticalmente bajo el agua. La fuerza en la parte superior del cilindro es la presión multiplicada por el área (por definición de presión). En la parte inferior del cilindro el área es la misma pero la fuerza es mayor (más profunda, más presión). La diferencia entre los dos es la fuerza de flotabilidad.

Cuando tienes un objeto de «cualquier» forma, puedes pensar que está hecho de infinidad de cilindros delgados (pajitas con los extremos cerrados, si quieres ). Ahora puede repetir el cálculo para cada uno de ellos. Eso demuestra que esto se mantiene incluso cuando el objeto tiene una forma divertida.

Da la casualidad de que la diferencia es igual al peso del agua desplazada, pero creo que lo anterior es menos abstracto.

¡Recuerde siempre su parada de seguridad!

Comentarios

• ¡Gracias @floris! Sí, esto tiene sentido ahora. El problema que tenía era con el aire, donde creía que había un cambio tan pequeño en la presión a través de un objeto, que no podía ‘ causar suficiente flotabilidad. Pero cuando pienso en lugar de que la masa empuje en la parte superior y la masa empuje en la parte inferior (como usted dice), parece completamente razonable. Y, por supuesto, esa masa de empuje es lo que es » presión «, por lo que la explicación del gradiente de presión también debe ser correcta. Gracias 🙂

Bueno, siempre lo he considerado como una atracción gravitacional sobre un -estado de equilibrio.

Trate de imaginar 2 bolas diferentes una encima de la otra cayendo del cielo (en la atmósfera terrestre). Si la bola más ligera está encima de la bola más pesada, la bola más ligera se separará de la bola más pesada. Si la bola más pesada está en la parte superior de la bola más ligera, entonces tenemos 2 opciones:

1. Estado de equilibrio – Es decir, la bola más pesada está directamente encima de la bola más ligera – No habrá fuerzas que aceleren la pelota hacia los lados, solo hacia abajo. Las pelotas caerán como una sola.
2. La pelota más pesada está ligeramente hacia los lados de la pelota más liviana (todavía se tocan). En este caso, la pelota más pesada rodar hacia los lados de la bola más ligera y pasará por debajo de la bola más ligera (acelerando más rápido).

Ahora intenta imaginar esto con millones de bolas cayendo por el cielo. Es algo lógico para los más pesados para ir por debajo de la luz otros, ¿no es así?

(Esta no es realmente una respuesta de «física», es más un simple ejemplo del concepto muy básico)

Comentarios

• Ambas bolas se aceleran al mismo ritmo. ¿Por qué se separarían?
• Las fuerzas de arrastre ralentizarán la bola más ligera

La presión en su sentido más simple es simplemente una fuerza que actúa sobre un área. Imagínese todas las partículas del aire en el automóvil. La presión del aire es realmente una medida de la fuerza promedio con la que estas partículas se empujan unas contra otras. Cuando traemos un globo de helio para que flote en el automóvil, las partículas de aire empujan contra las partículas de helio y las partículas de helio empujan hacia atrás las partículas de aire.

Entrando en un poco de ingeniería estática aquí; las fuerzas de los átomos de helio empujan en todas direcciones diferentes, pero como todas están contenidas en el globo y todas empujan con la misma cantidad de fuerza, podemos suponer que todas estas fuerzas se anulan entre sí, y que las únicas fuerzas que afectan al globo son un todo es externo. En este punto, sin fuerzas que actúen sobre él, el globo podría empujarse libremente en cualquier dirección sin prácticamente ninguna fuerza. Sin embargo, el aire no lo empuja a ninguna parte porque el aire también empuja el globo desde todas las direcciones y, por lo tanto, se cancela a sí mismo también.

Ahora la fuerza se calcula como masa * aceleración (también conocida como aceleración).un golpe en la cabeza te va a golpear más fuerte que una canica que se mueve a la misma velocidad porque tiene más masa y por lo tanto más fuerza). La aceleración a nivel molecular es directamente proporcional a la temperatura. Dado que la temperatura de todos los gases en el automóvil es la misma, podemos cancelar esto, y lo único que afecta la fuerza con la que empujan las partículas es la masa de las partículas.

Volviendo a nuestro automóvil : La gravedad empuja hacia abajo todas las partículas del automóvil con la misma aceleración constante, 9,8 m / s ^ 2. Las partículas de aire son arrastradas hacia abajo con una fuerza igual a su masa * 9,8 m / s ^ 2. Las partículas de helio también son arrastradas a la misma aceleración, pero dado que su masa es mucho menor que la del oxígeno, nitrógeno y otras partículas en el aire, su fuerza hacia abajo es mucho menor y son empujadas hacia arriba por más partículas de aire contundentes. Por eso el globo flota.

A continuación, el automóvil comienza a moverse. Siguiendo la ley de la inercia (un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo hasta que actúa sobre él una fuerza externa), aunque el automóvil comienza a moverse hacia adelante, las partículas de gas permanecen en su lugar. Imagine una bola flotando sobre su tablero que permanece en esta ubicación absoluta sin importar cómo se mueva. Jale un pie hacia adelante, y ahora está por encima de la consola central. Otro par de pies y está en su asiento trasero. Esto es exactamente lo que les sucede a todas las partículas de gas en el automóvil. Ahora todas las partículas se han trasladado a la parte trasera del vehículo y hay muchas menos en la parte delantera. Dado que ahora hay más partículas de aire detrás del globo para empujar contra él que detrás de él, las fuerzas ya no se cancelan entre sí y el globo se empuja hacia adelante.

Con suerte, esto ayudará a explicarlo más claramente . Lo siento, esto fue bastante prolijo, ¡avíseme si necesita algo más explicado!

Comentarios

• Algo de física inestable … por ejemplo, un La bola de boliche golpea más fuerte que una canica que se mueve a la misma velocidad porque lleva más impulso, por lo tanto, detenerla provoca un cambio mayor en el impulso, lo que significa que se aplicó más fuerza si la detención de ambas ocurre en el mismo intervalo de tiempo. Aproximadamente la mitad de la respuesta está bien y, en términos generales, ‘ es más o menos correcta, pero omite varios detalles (importantes).
• Cierto, ‘ s ha pasado un tiempo y estaba tratando de simplificar tanto como fuera posible. Siéntase libre de editar según sea necesario.