¿Cómo puede aumentar la velocidad del sonido con un aumento de temperatura?

La velocidad del sonido viene dada por:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

donde $ P $ es el presión y $ \ rho $ es la densidad del gas. $ \ gamma $ es una constante llamada índice adiabático . Esta ecuación fue primero ideada por Newton y luego modificada por Laplace al introducir $ \ gamma $ .

La ecuación debe tener un sentido intuitivo. La densidad es una medida de qué tan pesado es el gas, y los objetos pesados oscilan más lentamente. La presión es una medida de qué tan rígido es el gas, y las cosas rígidas oscilan más rápido.

Ahora consideremos el efecto de la temperatura. Cuando esté calentando el gas, debe decidir si está vamos a mantener el volumen constante y dejar que la presión aumente, o mantener la presión constante y dejar que el volumen aumente, o algo intermedio. Consideremos las posibilidades.

Supongamos que mantenemos el volumen constante, en cuyo caso la presión aumentará a medida que calentamos el gas. Eso significa que en la ecuación (1) $ P $ aumenta mientras que $ \ rho $ permanece constante, por lo que la velocidad del sonido sube. La velocidad del sonido está aumentando porque efectivamente estamos haciendo que el gas sea más rígido.

Ahora suponga que mantenemos la presión constante y dejamos que el gas se expanda a medida que se calienta. Eso significa que en la ecuación (1) $ \ rho $ disminuye mientras que $ P $ permanece constante y nuevamente la velocidad del sonido aumenta. La velocidad del sonido está aumentando porque «estamos haciendo que el gas sea más liviano para que oscile más rápido.

Y si tomamos un curso medio y dejamos que la presión y el volumen aumenten, entonces $ P $ aumenta y $ \ rho $ disminuye y nuevamente la velocidad del sonido aumenta.

Entonces, hagamos lo que hagamos , aumentar la temperatura aumenta la velocidad del sonido, pero lo hace de diferentes maneras dependiendo de cómo dejamos que el gas se expanda a medida que se calienta.

Al igual que una nota al pie, un gas ideal obedece a la ecuación de estado:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

donde $ n $ es el número de moles del gas. La densidad (molar) $ \ rho $ es solo el número de moles por unidad de volumen, $ \ rho = n / V $ , que significa $ n = \ rho V $ . Si sustituimos $ n $ en la ecuación (2) obtenemos:

$$ PV = \ rho VRT $$

que se reordena a:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Sustituye esto en la ecuación (1) y obtenemos:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

entonces:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

que es donde entramos. Sin embargo, en esta forma la ecuación oculta lo que realmente está sucediendo, de ahí su confusión.

Experimentalmente, la constante de proporcionalidad para la ecuación anterior es aprox. . 20.

Comentarios

• Solo quería hacerle saber que su respuesta sigue ayudando a las personas 6 años después … I ‘ he pasado aproximadamente una hora tratando de encontrar una explicación intuitiva de esta fórmula, y ‘ resumiste todo muy bien en algunas oraciones 🙂

Gran pregunta. La respuesta corta es que su intuición (acerca de las cosas densas que tienen velocidades de sonido más rápidas) probablemente está influenciada por diferentes materiales a la misma temperatura y está contaminada por sólidos, cuando el problema aquí es realmente sobre gases, que son diferentes.

Veamos algunos datos:

El aire es escaso y tiene una velocidad de sonido baja de 760 mph. Las cosas más pesadas como el cobre son densas y tienen una velocidad de sonido más rápida.El acero tiene una velocidad de sonido de 10,000 mph .

Entonces tu intuición no es tan mala, ¿verdad?

¿Qué pasa con el aire frío frente al aire caliente? El aire frío es más denso, ¡pero tiene una velocidad de sonido más baja! Aquí es donde podemos ver su hermosa paradoja.

Resulta que la repulsión debida a las ondas de compresión externas (lo que usted llamó ondas mecánicas) en un sólido como un metal se crea a partir de mecanismos diferentes a los de un gas compresible. Una onda de presión en un sólido comprimirá iones relativamente estacionarios en una red. La red es muy fuerte y los átomos no se mueven, pero pueden vibrar. Si aprietas un poco de acero, estás comprimiendo un poco esta red, pero la dependencia funcional de los campos eléctricos en esta red es bastante compleja. A la pregunta aquí, un resultado obvio con suerte es que la dependencia de la temperatura no será demasiado fuerte, ya que la función de fuerza (distancia) determina qué tan rápido viaja una perturbación a través de la red y la energía que le da a los átomos en la red ganó «No cambia mucho la relación de la curva de celosía-distancia-fuerza de interés aquí.

Un gas es una bestia muy diferente en el sentido de que solo hay un grupo de partículas independientes volando. Aquí, la velocidad del sonido es , básicamente, un promedio ponderado de las moléculas de gas más rápidas que, por supuesto, se mueven con la raíz cuadrada de la energía / temperatura.

En comparación con un sólido, la cuestión de cuál es la velocidad del sonido en un gas es totalmente trivial. Lea th es o esto o para tener una idea de cuánto más complejos son los sólidos. Si les diera a los físicos solo las propiedades atómicas (no cosas como el módulo de volumen) de un sólido como el cobre y también de un gas como O $ _ \ rm 2 $, solo podrían calcular, al menos con una calculadora simple, la velocidad del sonido en O $ _ \ rm 2 $.

Una forma rápida de corregir su intuición es observar la velocidad del sonido en un sólido en cero absoluto frente a un gas. Solo el último es cero. De hecho, es por eso que los gases no pueden existir cerca del cero absoluto. Las moléculas en un gas lo suficientemente frío ni siquiera tienen suficiente energía para alejarse unas de otras, por lo que tienen que ser líquidas o sólidas.

Con suerte, ahora verá que sus experiencias pasadas realmente solo se aplicaron para diferentes materiales, no para materiales individuales en función de la temperatura.

Las ondas sonoras se propagan a través de un medio como resultado de colisiones entre moléculas. A temperaturas más altas, las moléculas tienen mayor energía cinética y, a medida que se mueven más rápido, sus colisiones ocurren con mayor frecuencia y transportan ondas sonoras más rápido. Mayor energía cinética = menos inercia = mayor velocidad.

Sin embargo, como las ondas sonoras son ondas de compresión que viajan a través de un medio comprimible, su velocidad depende no solo de la inercia del medio, sino también de su elasticidad.

Generalmente, cuanto más juntas estén las moléculas, más rápido lo harán. transportan ondas sonoras. Aunque la distancia entre moléculas tiende a aumentar cuando un medio se calienta, esto es relativamente menos importante para la velocidad del sonido dentro de un medio dado que el movimiento más rápido de las moléculas.

La temperatura más alta. implica una mayor velocidad para la molécula, por lo que choca con la siguiente molécula en un tiempo más rápido, incluso si están lejos de cada una. por otro lado, la temperatura más baja. significa menor velocidad y, por lo tanto, también puede chocar con su vecino cercano durante más tiempo. merci!

Sabemos que la temperatura y la energía cinética son directamente proporcionales. Cuando la temperatura aumenta, la energía cinética de las moléculas de aire aumenta y las moléculas se mueven más rápidamente. Debido a que la propagación del sonido se realiza rápidamente, aumentando la velocidad.