¿Cómo puedo trazar la gráfica compleja de $ x ^ x $ en Mathematica?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Aquí «una vista que muestra cómo el gráfico comienza a espiral para valores negativos de $ x $, si tomamos en cuenta los valores complejos.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

De hecho, si escribimos $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $, este n normalmente genera a $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; cada $ 2i \ pi k $ representa otra rama del logaritmo complejo. En este contexto, vemos que este gráfico solo forma una espiral de una familia de espirales.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

En las clases de primaria, es posible que vea la afirmación de que $ (p / q) ^ {p / q} $ se define para $ p $ negativo y $ q $ impar y positivo. Por lo tanto, incluidos estos puntos, el gráfico podría verse así:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Desde la perspectiva compleja, los puntos surgen como puntos donde uno de los hilos en espiral perfora el plano $ x $ – $ z $.

Comentarios

• Elegí yulinlinyu ' s como respuesta porque respondió a mi pregunta de forma directa y sucinta, pero Mark Mcclure ' s La respuesta va más allá, ¡y es la verdadera joya de este hilo!

Como ha señalado yulinyu , algo como lo siguiente le dará la trama deseada.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

También puede estar interesado en esta excelente respuesta de Simon Woods para crear un gráfico de la trama sobre el dominio complejo. El uso de su función y la evaluación de lo siguiente le da una imagen bonita

domainPlot[#^# &] 

Comentarios

• Por un segundo pensé que fumaba …. pero no
• ¿Estás entrenando tus poderes hipnóticos?

Puede usar las funciones nuevas en M12 ReImPlot y ComplexPlot para visualizaciones complejas de una función . Usando ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

y ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

También

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

hace el trabajo en la versión 12.0.