En la imagen que se muestra:
Suponga que hay un hombre aplicando una fuerza $ F $ para sostener la caja usando un cordón que envuelve una polea sin fricción (el sistema es en equilibrio y nada se mueve)
Ahora, si queremos dibujar el diagrama de cuerpo libre para la polea, se verá así:
Sabemos que $ T_1 = T_2 $ porque la polea no tiene fricción, y podemos verificar que esto es cierto usando la suma de momentos sobre el punto A = cero (asumir positivo en sentido antihorario) $$ \ begin {align} T_2r-T_1r & = 0 \\ T_2-T_1 & = 0 \\ \ por lo tanto T_2 & = T_1 \ end {align} $$
Ahora, si la polea no tiene fricción ( hay fricción entre la polea y la cuerda), entonces el hombre debe aplicar una mayor fuerza para sostener la caja (porque está sosteniendo la caja y parte de su fuerza se disipa debido a la fricción) (el sistema aquí también está en equilibrio). Eso significa que $ T_1 $ es mayor que $ T_2 $, pero esta situación no satisfará la ecuación de equilibrio (suma de momentos alrededor del punto A = cero) porque $ T_1 > T_2 $
¿Cuál es mi error al analizar ambas situaciones?
Este es un ejemplo resuelto en mi libro de estadísticas 
Respuesta
Estás pensando mal en la fricción.
La fricción se opone al movimiento relativo. ¿Por qué debería el hombre ¿Tienes que tirar más fuerte si hay fricción en la polea?
Con la ayuda del fanático del trinquete, he limpiado el resto. La fricción es un movimiento opuesto. Si tu fuerza aplicada ($ F_a $) es la misma como el peso de su masa ($ F_m = mg $), entonces no hay movimiento relativo para tratar de oponerse: $$ T_1 = F_a = T_2 = F_m = mg $$
Si $ F_a < F_m $ pero $ F_m – F_a \ leq F_ {f_ {static}} $, entonces aún puede equilibrarse como: $$ T_1 = F_a = T_2 – F_ {f_ {static}} = mg $$
lo que significa que en realidad necesitas aplicar menos fuerza si hay fricción.
Esbocé un DCL para ayudar a ilustrar cómo se equilibrarán los momentos y todo. Tenga en cuenta que esto es aproximado ya que la fricción en realidad se esparciría ut sobre la superficie de contacto de la cuerda. También tenga en cuenta que no creo que normalmente se preocupe por la fricción en la interfaz cuerda-polea. Creo que el cojinete de la polea normalmente resistiría, ya que lo ideal es que la polea esté girando con la cuerda.
Comentarios
- Los comentarios no son para una discusión prolongada; esta conversación se ha movida al chat .
Responder
Hay dos posibles fuentes de fricción, no una; si eso no está claro, puede confundirse. Así que comencemos desde lo básico.
Primero, el cable puede deslizarse libremente, o experimentar fricción, deslizándose sobre la polea. En segundo lugar (y sé que su pregunta dice «ignore esto») la polea puede gire libremente o experimente fricción deslizándose sobre la varilla que lo sostiene. Trataremos las dos fuentes de fricción como si actuaran como una sola en lo que respecta al cable , pero es importante notar que podría existir y podría necesitar una consideración cuidadosa.
(Un tercer punto sería el momento angular / momento de inercia de la propia polea, si la polea fuera pesada y necesitara una energía significativa para comenzar a girar a medida que la cuerda se mueve sobre ella, pero ignoraremos esto también, y suponga una polea liviana.)
No tengo software de dibujo aquí, pero su respuesta es la siguiente:
Ecuación básica: Fuerza neta = masa x aceleración. ($ F = mA $)
Fuerzas sobre la caja
Hay 2 fuerzas que actúan sobre la caja. Una fuerza debida a la gravedad (llámela $ W $) hacia abajo , y tensión en la cuerda (llámela $ T $) hacia arriba . La caja está en equilibrio entonces $ W = T $. La fuerza debida a la gravedad que actúa sobre una masa $ m $ es $ mg $, por lo que $ W $ se calcula fácilmente como $ W = mg $. Debido a que la caja está en equilibrio, $ T $, la tensión en la cuerda, tiene el mismo tamaño, entonces $ T = W = mg $.
Fuerzas que actúan sobre la cuerda / tensión en el cordón
El cordón (que se simplifica ligeramente como es habitual para las preguntas de este nivel) también está en equilibrio, por lo que desde la perspectiva de cordón , experimenta tres fuerzas que también se equilibran . En un extremo la fuerza de la caja, en el otro extremo la fuerza debida al tirador del hombre y en el medio, cualquier fuerza de fricción estática del contacto con la polea (que existe cuando el cordón no se mueve).Puede haber algunos o ninguno. Pero si hay una fuerza de fricción, resistirá el movimiento de la cuerda, por lo que actuará en la dirección opuesta a la forma en que la cuerda se movería.
Condición para el equilibrio
Suponga que la polea puede ejercer una fuerza sobre la cuerda debido a la fricción, hasta una cantidad de $ N $ newtons. Entonces lo que pasará es esto:
El hombre tira con fuerza $ F $. Pero el cordón está en equilibrio. La fuerza neta de tirar y del peso de la caja es $ FW $, y debido a que está en equilibrio, debe ser «suficientemente pequeña», entre $ + N $ y $ -N $, de lo contrario, la fricción no puede «t proporcionar suficiente fuerza para equilibrarlo y no permanecerá estático en equilibrio.
Entonces, recordando que $ W = mg $, la condición será que:
$$ – N \ leq F – mg \ leq N $$
Añadiendo $ mg $ a todos los términos:
$ mg – N \ leq F \ leq mg + N $
y dividiendo esto en condiciones separadas y reorganizando:
$ F \ geq mg – N $ y $ F \ leq mg + N $
No podemos hacer más porque en la pregunta, la fuerza que necesita el hombre para mantener el equilibrio depende de dos cosas: la masa de la caja y la fuerza máxima. posible debido a la fricción, y no tenemos ninguna información para trabajar en ninguno de estos más.
Entonces, lo que esto dice en un lenguaje sencillo es que la fuerza que el hombre tiene que aplicar debe ser » lo suficientemente cerca «a $ mg $, que la fricción puede suministrar el resto de la fuerza de equilibrio necesaria para el equilibrio. Si la fricción no proporcionó fuerza ($ N = 0 $), obtendría $ F = mg $, que es la solución exacta para una polea sin fricción.
Comentarios
- Hay 4 fuerzas que actúan sobre la cuerda, la cuarta es la fuerza normal (que aplica la polea sobre la cuerda), ¿es cierto?
- Sí, pero la situación lo hace irrelevante. El cable que descansa sobre la polea, no ' t tiene libertad de movimiento para moverse de cualquier manera excepto tangencial a la polea en todos los puntos de contacto porque los puntos donde ocurre cualquier fuerza normal pueden ' t moverse en una dirección normal por la naturaleza de la configuración (ya que eso significaría que se hunden en la polea, mueven la polea o flotan fuera de la polea). Por lo tanto, las normales deben estar siempre equilibrados, con fricción o sin fricción. Por lo tanto, cualquier movimiento o fuerza desequilibrada debe ser solo tangencial = > debido a la tensión.