Como estudiantes de matemáticas de toda la vida, encontramos que la resolución de problemas es absolutamente esencial para mejorar nuestra comprensión del tema. Enseñar a otros lo que sabemos sirve para reforzar nuestro conocimiento existente y difundir información a los alumnos.
Sin embargo, ¿cómo se puede crear problemas «buenos»?
Por «bueno», me refiero a problemas estimulantes e inspiradores con soluciones que son extensibles a otros dominios. Además, esto se acumula hasta el nivel de los problemas olímpicos, para los cuales los redactores de problemas parecen tener un grado notable de ingenio y creatividad para idear problemas nuevos.
Comentarios
- Me preocupa que esta pregunta sea demasiado amplia. No ‘ quiero decir que no podemos ‘ decidir qué » bueno » significa, en términos de un problema matemático. Pero, más bien, esa definición depende demasiado de (i) para quién está diseñado el problema y (ii) qué tipo de contenido / técnicas matemáticas deben usar. Es decir, un problema » bueno » para un alumno de sexto grado que aprende fracciones es muy diferente de un » buen » problema para mostrarle a un estudiante de economía cómo el cálculo es útil en su disciplina.
- Estoy de acuerdo en que sería mejor tener esto limitado a un solo tema en matemáticas, por ejemplo, cómo crear buenos problemas de topología.
- Algunos de mis maestros tenían una habilidad inmejorable para escribir tareas / exámenes en los que aprendías mucho al resolver los problemas. Otros simplemente dieron problemas aburridos. Los primeros generalmente eran mucho más desafiantes en general, incluso si no eran » más difíciles » en ningún sentido. Si revisa los problemas propuestos en los libros de texto, ‘ verá lo mismo. ‘ me temo que este es, en gran medida, un talento difícil de transmitir.
- Uno de los mayores problemas que encontré en la educación anterior fue que no había contexto dado para el problema que estábamos resolviendo. Ponerlos en contexto podría ayudar bastante. Por ejemplo, considere factorizar un polinomio. Si lo coloca en el contexto de la optimización en cálculo (resolviendo los ceros de una derivada), su uso se hace evidente. Utilizar los problemas de palabras presentados en materiales más avanzados, y luego solo pedirles que resuelvan la parte que se les ha enseñado (en el ejemplo anterior, hacer que factoricen una derivada precalculada) es una estrategia válida para presentar problemas en un contexto correcto.
Respuesta
Dado que su pregunta es muy amplia, aquí hay una respuesta algo amplia: Lea acerca de la presentación de problemas.
Tres piezas clave son:
Silver, EA (1994). Sobre la presentación de problemas matemáticos. Para el aprendizaje de las matemáticas, 14 (1), 19-28.
y el libro
Brown, SI, & Walter, MI (2005). El arte de plantear problemas . Psychology Press.
Esta última es una reimpresión de un libro que salió por primera vez en 1983. También puede encontrar un libro relacionado editado por Brown y Walter; una cita para la versión más reciente es:
Brown, SI, & Walter, MI (Eds. ). (2014). Presentación de problemas: reflexiones y aplicaciones . Psychology Press.
Comience con estos tres documentos, sus referencias y (buscando en Google Scholar) otros trabajos y artículos que los citaron.
Para esbozar de manera muy aproximada la sugerencia de Brown y Walter: comience con un escenario matemático, enumere suposiciones, varíe las restricciones (en sus términos: » What-if- not-ing «) y luego hacer preguntas. Incluso puedes » ciclo » a través de este proceso repetidamente para producir problemas de complejidad creciente.
Por supuesto, plantear problemas trae consigo el peligro de no saber la respuesta a lo que está preguntando.
Por ejemplo , su escenario inicial podría usar el Teorema de Pitágoras:
Encuentre todas las soluciones enteras para $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .
Este ejemplo en particular se explora en el libro de Brown y Walter, pero me parece que una suposición razonable para enumerar es que el exponente en todas partes es $ 2 $ , y pedir soluciones enteras cuando el exponente es $ 3 $ .. .. o, si uno se siente particularmente atrevido, generalizar y pedir exponente $ k \ geq 3 $ .
A simple vista, esta puede parecer una pregunta razonable; pero, si está familiarizado con el último teorema de Fermat, se dará cuenta de que este no es un problema apropiado para la mayoría de los estudiantes.
Puede encontrar algunos de mis breves comentarios sobre la presentación de problemas y la creatividad en parte $ 4b $ aquí , y un par de otros ejemplos que relacionan la presentación de problemas y la intuición en el ejemplo concreto sección aquí .
Un comentario final: Empiece por mencionar el » esencial » función de la resolución de problemas para mejorar nuestra comprensión de las matemáticas. Puede valer la pena señalar que la presentación de problemas juega un papel importante en resolver; considere la lista de heurísticas de Polya y cuántas de ellas son preguntas: ¿Cuál es un problema relacionado? ¿Cuál es un problema más simple? ¿Cómo puedo generalizar este problema? Etc. (Históricamente, tanto Silver, en la primera pieza citada anteriormente, como Kilpatrick, sobre formulación de problemas , trazan esta observación, es decir, que la presentación de problemas es una parte integral de la resolución de problemas, al menos desde un artículo de 1945 de Karl Duncker.)
Como Cantor (1867) escribió en su tesis doctoral:
“In re mathica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi ”
(“ En matemáticas el arte de hacer preguntas es más valioso que resolver problemas ”).
Comentarios
- Mientras yo ‘ soy fan de P ó lya ‘ s libro, me temo que se asume que se le dan todos los datos necesarios, y solo los datos necesarios, demasiados integrados . » Los » del mundo real tienen que ver, en gran parte, con descubrir qué es relevante y qué es ‘ t, y recolectando missin g datos.
- @vonbrand Además de mirar algunos de los libros posteriores de Polya ‘ (post- Cómo resolverlo ) I ‘ d sugiere, para » problemas del mundo real «, investigando la literatura sobre modelos matemáticos. La intersección del modelado matemático y la educación matemática aún se puede peinar bastante; comenzar con el trabajo de Pollak ‘ (relevante: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) y mover a sus citas …
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Para mí, tal vez hay tres tipos principales de problemas que asignar:
- Desarrollo de habilidades de rutina : cualquiera de los dos está modelado en un cálculo que he mostrado problemas similares resueltos, o son un problema de prueba que es simplemente una consecuencia natural de la definición con poca técnica adicional requerida. Para un curso de prueba, muchos problemas son poco más que una invitación a preocuparse por lo que realmente significa la notación.
- Descubrimiento de amplitud : en cada curso hay ciertos temas para los que no tenemos suficiente tiempo en clase. Es una experiencia muy gratificante para los estudiantes ser guiados a través de un breve módulo de problemas en el que descubren las características esenciales de un tema que no se cubre en profundidad en conferencias y otros materiales.
- Desafío : aquí no hay rieles, no hay caja, no hay expectativa de que alguien en el curso lo resuelva. A veces se utilizan para mostrar las limitaciones de una familia actual de técnicas para resolver problemas, a veces implican una intuición difusa que guía un salto creativo.
Sospecho que la mayoría de los problemas que escribo y / o asignar encajar en 1 o 2, pero los estudiantes a menudo me acusan de 3. Honestamente, una de las razones por las que trato de navegar bastante por el MSE es para evaluar lo que se cubre en mis cursos en otras universidades. Además, el sabor internacional del MSE me ayuda a obtener una muestra representativa de lo que está sucediendo en las escuelas de todo el mundo.
Comentarios
- Estás omitiendo la pregunta con trampa favorita de todos los tiempos, en la que tienes que inventar un toque de Rube-Goldbergian para tener alguna esperanza de solucionar el problema. Muchos por aquí están acusados de cometer acertijos, no exámenes …
- @vonbrand bueno, eso probablemente sería cuestionado. A menudo, tales problemas comienzan con una respuesta, ocurre algo de magia oscura que involucra series y luego se le pide al estudiante que vea un patrón … ja ja ja … malvado.
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Dos sugerencias:
1) Asista a talleres y conferencias y busque sesiones de resolución de problemas o presentadores que compartan sus «problemas favoritos.»Cuando se discuten los problemas y las soluciones, aparecen métodos y enfoques únicos.
2) Construya una biblioteca y dedique tiempo para leer. Reúna libros, archivos PDF y fuentes. Un libro de texto que no sea adecuado para los estudiantes puede ser un gran fuente de problemas. (Utilice Amazon y eBay para obtener versiones usadas que son mucho más baratas.) Modifique la versión del libro de texto según sea necesario. La creatividad en la creación de problemas proviene de hojear las fuentes.
Comentarios
- Echa un vistazo a los sitios de olimpiadas de matemáticas. Busca notas de clase, exámenes (resueltos), tareas, … la ‘ está repleta de ese tipo de cosas.
Respuesta
No especificó un nivel específico, pero creo que su pregunta tiene mérito En todo caso. Lo tomaré en el nivel K-8. Primero quiero abordar su requisito específico:
Por «bueno», me refiero a problemas inspiradores y que invitan a la reflexión con soluciones que son extensibles a otros dominios.
Interpretaré «inspirador» en el sentido de que los estudiantes tendrán una motivación para participar en las matemáticas del problema. Por «estimulante», asumiré que usted quiere decir que los problemas tienen una alta probabilidad de requerir que los estudiantes se involucren en un razonamiento matemático productivo. Estas son características esenciales de las buenas investigaciones en un plan de estudios. Es decir, un buen plan de estudios debe contener actividades e investigaciones que los satisfagan.
Una vez le pregunté a una conocida desarrolladora de planes de estudios de alta calidad cómo sabía que sus problemas de plan de estudios se ajustaban a los requisitos de « educación matemática realista «(que fue el enfoque que inspiró su plan de estudios. Ella respondió que tenían que probar cada actividad con estudiantes reales muchas veces en el proceso de investigación y desarrollo. Es posible que los primeros borradores se hayan basado en la teoría, en realidad el currículo terminado fue probado en gran medida.
Por lo tanto, busque y recopile problemas desarrollados por buenos diseñadores de currículos. Si es necesario, cree su propia biblioteca de tales problemas. / p>
Una nota final: sugirió que quería problemas cuyas soluciones fueran extensibles a otros dominios. Le sugiero que tenga cuidado con este tipo de suposiciones al buscar problemas. Lo que llegan a entender en el proceso de plantear problemas y resolver puede ayudarlos a formar conexiones ecciones entre contextos. Sin embargo, puede resultarle difícil respaldar la noción de «soluciones transferibles de dominio» en la buena literatura sobre educación matemática. Concéntrese más en qué tipo de razonamiento matemático los estudiantes tendrán la oportunidad y los recursos para participar.