Si el PDF normal estándar es $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
y el CDF es $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
¿cómo se convierte esto en una función de error de $ z $?
Comentarios
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Vi esto, pero comienza con ERF ya definido.
- Bueno, hay ' una definición de erf y una definición de la CDF normal. Las relaciones, derivables por algunos cálculos de rutina, se muestran como sobre cómo convertir entre ellos y cómo convertir entre sus inversos.
- Lo siento, no ' veo muchos de los detalles. Por ejemplo, el CDF es de -Inf a x. Entonces, ¿cómo va el ERF de 0 a x?
- ¿Está familiarizado con la técnica de cálculo de cambio de variable? Si no es así, aprenda a hacerlo.
Respuesta
Debido a que esto aparece a menudo en algunos sistemas (por Por ejemplo, Mathematica insiste en expresar el CDF Normal en términos de $ \ text {Erf} $), es bueno tener un hilo como este que documente la relación.
Según la definición de , la función de error es
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Escribir $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ implica $ t = z / \ sqrt {2} $ (porque $ t $ no es negativo), de donde $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Los puntos finales $ t = 0 $ y $ t = x $ se convierte en $ z = 0 $ y $ z = x \ sqrt {2} $. Para convertir la integral resultante en algo que parezca una función de distribución acumulativa (CDF), debe expresarse en términos de integrales que tienen límites inferiores de $ – \ infty $, así:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Esas integrales en el tamaño de la derecha son ambos valores del CDF de la distribución Normal estándar,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Específicamente,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Esto muestra cómo expresar la función de error en términos de la CDF normal. La manipulación algebraica de eso da fácilmente el CDF normal en términos de la función de error:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Esta relación (para números reales, de todos modos) se muestra en gráficos de las dos funciones. Los gráficos son curvas idénticas. Las coordenadas de la función de error de la izquierda se convierten a las coordenadas de $ \ Phi $ de la derecha multiplicando las coordenadas $ x $ por $ \ sqrt {2} $, sumando $ 1 $ a las coordenadas $ y $, y luego dividiendo las coordenadas $ y $ por $ 2 $, reflejando la relación
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
en el que la notación muestra explícitamente estas tres operaciones de multiplicación, suma y división.
Comentarios
- Creo $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ es el correcto forma de relacionarlos, considerando la media y la desviación estándar.