¿Confusión sobre el cálculo del período fundamental?

Las funciones trigonométricas son esencialmente exponenciales. Por tanto, una duplicación del argumento corresponde a una elevación al cuadrado de la función (en cierto sentido). En este caso, se puede ver aplicando la fórmula de suma de ángulos:

$$ \ begin {alineado} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {alineado} $$

Haciendo

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Aplicándolo a su ecuación:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

A partir de esto, queda bastante claro que el período fundamental es 0.25, ya que eso hace que $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

A pedido:

$$ \ begin {alineado} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + mi ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ izquierda [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ derecha] \\ \ end {alineado} $$

Debería poder calcular a partir de ahí. Tenga en cuenta que el caso cuadrado podría haberse manejado de la misma manera.

Utilizo esta técnica ampliamente para estas fórmulas:

• Fórmulas de frecuencia casi instantánea exacta Mejor en picos (Parte 1)
• Fórmulas de frecuencia casi instantánea exacta Mejor en picos (Parte 2)
• Fórmulas de frecuencia casi instantánea exacta Mejor en pasos por cero

Comentarios

• Por favor amablemente actualice la segunda última línea de su respuesta. Es un período fundamental que es 0.25 no frecuencia fundamental
• @Man Done, buena captura. Lo siento.
• Por favor, actualice un poco su respuesta para satisfacer la necesidad de una pregunta actualizada
• @Man Salga de cambiar las publicaciones de objetivos. n = 3,4,5 … se puede calcular según el patrón. el resultado final es $ n4 \ pi T = 2 \ pi $ que es lo mismo que $ T = 1 / (2n) $

Esto parece más un problema de semántica.

Una señal es periódica con el tiempo $ T $ si

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Entonces, la señal es periódica en $ 0.5 $ ya que para $ T = 0.5 \ cdot n $ el argumento del coseno es un múltiplo entero de $ 2 \ pi $ . Como es periódico en $ 0.5 $ , también es periódico en todos los múltiplos enteros de $ 0.5 $ , es decir $ 1 $ , $ 1.5 $ , $ 2 $ etc.

En este caso, también es periódico en $ 0.25 $ desde $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0.5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Entonces, cualquier señal periódica tiene una número infinito de períodos, el fundamental es el más pequeño y todos los demás son múltiplos enteros del fundamental.

Si ayuda a alguno, genera una onda sinusoidal de amplitud unitaria a 1 Hz y su cuadrado:

Entonces la onda sinusoidal y su cuadrado se ven así:

Puede ver el componente DC: el valor promedio de la onda sinusoidal cuadrada (promediado sobre un número entero de períodos) es 1/2. Y la frecuencia de la onda sinusoidal roja se duplica exactamente, por lo que el período se reduce a la mitad. La CC y la frecuencia duplicada son las «frecuencias de batido» obtenidas al multiplicar la onda sinusoidal por sí misma.

Comentarios

• ¿Qué software estás usando?
• Estoy usando un programa de simulación comercial llamado Extend (versión anterior) y ExtendSim (versiones más recientes), de Imagine That, Inc. Estas se amplían con cuatro bibliotecas de bloques que comencé a desarrollar en 1990. Mis bibliotecas, llamadas LightStone, están disponibles de forma gratuita, con código fuente completo comentado. La URL de mis bibliotecas es umass.box.com/v/LightStone . Actualizaré las bibliotecas al final de la semana para que funcionen con la última versión de ExtendSim 10.0.6 (debería ser solo una recompilación). El modelo anterior se realizó con Extend 6.0.8 en una Mac antigua (me gusta cómo se ve).
• Gracias, ' lo comprobaré: )