Aquí «una pregunta de probabilidad (probablemente muy simple) No estoy seguro de cómo resolver:
Gamma distribución $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ con $ \ mu = 20 $ y $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
La pregunta anterior fue encontrar los valores de $ \ alpha $ y $ \ beta $, lo cual hice usando $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ y $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alpha $$ \ beta ^ 2 $.
Para el CDF de distribución gamma, mi libro de texto dice $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ donde $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ es la distribución gamma estándar cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Para integrar eso, parece que necesito usar la regla de la cadena, pero nuestro profesor nunca lo hizo un ejemplo. ¿Existe un método de atajo? Nunca hemos usado la integración en un ejemplo real, solo para definir el pdf y obtener el cdf para diferentes distribuciones.
Editar
Los ejemplos en mi libro de texto que involucra problemas de distribución gamma estándar dice buscar los valores de $ F (x; \ alpha) $ en la Tabla A.4 del apéndice. Cuando miré, faltaba la Tabla A.4, lo que realmente me decepciona. ¿Hay alguna ¿Tablas de distribución gamma estándar en línea que puedo imprimir y entregar con la tarea? Revisé Wolfram Alpha pero no tenían una. Casio tiene algo , pero no estoy seguro de cuáles son los parámetros de forma y escala.
Editar 2
Encontré esa tabla. En la parte delantera del libro, la Tabla A.5 venía justo después de A.3, por lo que pensé que faltaba A.4. Fui a la biblioteca para ver si tenía el mismo libro de texto, ellos lo tenían, y alguien tenía el sentido común (que yo no tenía) de mirar al final del libro, y ahí estaba. No se necesita más ayuda.
Comentarios
- Necesita integrar por partes repetidamente comenzando con $ u = y ^ {\ alpha-1} $ y $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $, y $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Cada vez que lo haga, obtendrá una integral con un exponente menor para $ y $. Si $ \ alpha $ es un número entero, podrá finalizar el proceso. Si $ \ alpha $ no es un número entero, las cosas son más complicadas.
- @dilip, debe publicar su comentario como respuesta.
- @DilipSarwate, no existe una solución de forma cerrada para $ \ alpha $ non-integer, este CDF es entonces la función gamma incompleta .
- Y dudo mucho que la integración por parte fuera el objetivo del ejercicio.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4]%2C+24]
Respuesta
Como lo sugiere Probabilityislogic, mi comentario se convierte en una respuesta.
Debes integrar por partes repetidamente comenzando con $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $, y usando $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Como $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, cada vez que haces una integración por partes, obtendrá una integral con una e menor xponente para $ y $ en el lado derecho. Si $ \ alpha $ es un número entero (como es en este caso particular), podrá finalizar el proceso con $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Si $ \ alpha $ no es un número entero, las cosas son más complicadas porque no hay una expresión general de forma cerrada para $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ donde $ 0 < \ gamma < 1 $. Como señaló Xi «an, el CDF es la función gamma incompleta, y sus valores numéricos han sido tabulados.
Si la integración por partes no es el objetivo de este ejercicio como se sugiere en el comentario de Elvis, es posible que desee verificar si su profesor quiere que piense en el valor de una variable aleatoria gamma como un tiempo de llegada en un proceso aleatorio de Poisson y resuelva el problema desde ese punto de vista.
Comentarios
- ¿Existe una tabla en línea para varios valores de xy alpha? Mi libro de texto solo tiene tablas para curvas normales estándar y distribuciones t. Intenté buscar una, pero encontré demasiadas tablas de chi-cuadrado en su lugar
- No ' no sé de una tabla en línea, pero MATLAB calculará los valores por usted , y supongo que R o Mathematica o Wolfram Alpha o Maple o … etc harían lo mismo.