En mi experiencia, genérico y general no son intercambiables aquí o incluso en la mayoría de los casos.
Cuando dices «Tengo una general pregunta», estás diciendo La pregunta se aplica a un tema amplio.
Si dice «Tengo una genérica pregunta», significa que su pregunta es una pregunta común muy sencilla. Es una pregunta que verías hecha todos los días. También tiene una connotación levemente negativa porque es como decir «Tengo una pregunta que no es única ni creativa en absoluto. Es normal»
Entonces general es el uso correcto aquí.