¿Cuál es la diferencia entre retardo de fase y retardo de grupo?

En primer lugar, las definiciones son diferentes:

• Retardo de fase: (el negativo de) Fase dividida por la frecuencia
• Retardo de grupo: (el negativo de) Primera derivada de fase vs frecuencia

En palabras que significa:

• Retardo de fase: ángulo de fase en este punto de la frecuencia
• Retardo de grupo: Tasa de cambio de fase alrededor de este punto de frecuencia.

Cuándo usar uno u otro realmente depende de su aplicación. La aplicación clásica del retardo de grupo son las ondas sinusoidales moduladas, por ejemplo, la radio AM. El tiempo que tarda la señal de modulación en atravesar el sistema viene dado por el retardo de grupo, no por el retardo de fase. Otro ejemplo de audio podría ser un bombo: se trata principalmente de una onda sinusoidal modulada, por lo que si desea determinar cuánto se retrasará el bombo (y potencialmente se ensuciará en el tiempo), el retraso de grupo es la forma de verlo.

Comentarios

• » Fase absoluta en este punto de la frecuencia » ¿No sería ‘ t eso simplemente se llamaría » fase «?
• Quise decir » absoluto » en comparación con » relativo «, pero veo que esto se puede confundir con » valor absoluto «. Yo ‘ lo editaré
• una última diferencia importante: el retardo de fase en alguna frecuencia $ f $ es el retardo de tiempo del fase de la señal cuasi-sinusoidal de frecuencia $ f $ que pasó a través del filtro. el retraso de grupo es el tiempo de retraso del sobre o » grupo » del cuasi-sinusoide.

Ambos no miden cuánto se retrasa una sinusoide. El retardo de fase mide exactamente eso. El retardo de grupo es un poco más complicado. Imagine una onda sinusoidal corta con una envolvente de amplitud aplicada para que se desvanezca y se desvanezca, por ejemplo, un gaussiano multiplicado por una sinusoide . Esta envolvente tiene una forma y, en particular, tiene un pico que representa el centro de ese «paquete». El retardo de grupo le dice cuánto se retrasará esa envolvente de amplitud, en particular, cuánto se retrasará el pico de ese paquete. pasará.

Me gusta pensar en esto volviendo a la definición de retardo de grupo: es la derivada de fase. La derivada le da una linealización de la respuesta de fase en ese punto. En otras palabras, en alguna frecuencia, el retardo de grupo le dice aproximadamente cómo la respuesta de fase de las frecuencias vecinas se relaciona con la respuesta de fase en ese punto. Ahora, recuerde cómo estamos usando una sinusoide de amplitud modulada. La modulación de amplitud tomará el pico de la sinusoide e introducirá bandas laterales en las frecuencias vecinas. Entonces, de alguna manera, el retardo de grupo le brinda información sobre cómo se retrasarán las bandas laterales en relación con la frecuencia de la portadora, y aplicar ese retardo cambiará la forma de la envolvente de amplitud de alguna manera.

El ¿cosa loca? Los filtros causales pueden tener un retraso de grupo negativo.Tome su gaussiano multiplicado por una sinusoide: puede construir un circuito analógico de modo que cuando envíe esa señal, el pico de la envolvente aparecerá en la salida antes de la entrada. Parece una paradoja, ya que parecería que el filtro tiene que «ver» el futuro. Definitivamente es extraño, pero una forma de pensarlo es que, dado que la envolvente tiene una forma muy predecible, el filtro ya tiene suficiente información para anticipar lo que va a suceder. Si se insertara un pico en el medio de la señal, el filtro no lo anticiparía. Aquí hay un artículo realmente interesante sobre esto: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Comentarios

• Cuando dices » picture a … «, una imagen real sería realmente útil aquí.

Para aquellos que todavía no pueden marcar la diferencia, aquí hay un ejemplo simple

Tome una línea de transmisión larga con una señal cuasi-sinusoidal simple con una envolvente de amplitud, $ a (t) $ , en su entrada

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Si mide esta señal en la transmisión fin de línea, $ y (t) $ , podría aparecer en algún lugar como este:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

donde $ \ phi $ es la diferencia de fase desde la entrada hasta salida.

Si desea cuánto tiempo tarda la fase de la sinusoide, $ \ sin (\ omega t) $ transmisión de la entrada a la salida y luego $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ es tu respuesta en segundos.

Si quieres cuánto tiempo lleva el sobre , $ a (t) $ , de la transmisión sinusoide de entrada a salida y luego $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ es su respuesta en segundos.

El retraso de fase es solo el tiempo de viaje para una sola frecuencia mientras que el retraso de grupo es una medida de distorsión de amplitud si se aplica una matriz de frecuencias múltiples.

Sé que esta es una bonita vieja pregunta, pero he estado buscando una derivación de las expresiones para retardo de grupo y retardo de fase en Internet. No existen muchas derivaciones de este tipo en la red, así que pensé en compartir lo que encontré. Además, tenga en cuenta que esta respuesta es más una descripción matemática que intuitiva. Para obtener descripciones intuitivas, consulte las respuestas anteriores. Entonces, aquí va:

Consideremos una señal

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

y pasar esto a través de una LTI sistema con respuesta de frecuencia

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Hemos considerado que la ganancia del sistema es la unidad porque nos interesa analizar cómo el sistema altera la fase de la señal de entrada, en lugar de la ganancia. Ahora, dado que la multiplicación en el dominio del tiempo corresponde a la convolución en el dominio de la frecuencia, la Transformada de Fourier de la señal de entrada viene dada por

$$ X (j \ omega) = {1 \ over 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

que equivale a

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Por lo tanto, la salida del sistema tiene un espectro de frecuencia dado por

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ over 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Ahora, para encontrar la transformada de Fourier inversa de la expresión anterior, necesitamos conocer la forma analítica exacta de $ \ phi (\ omega) $ . Entonces, para simplificar las cosas, asumimos que el contenido de frecuencia de $ a (t) $ incluye solo aquellas frecuencias que son significativamente más bajas que la frecuencia portadora $ \ omega_0 $ . En este escenario, la señal $ x (t) $ puede verse como una señal modulada en amplitud, donde $ a (t ) $ representa la envolvente de la señal de coseno de alta frecuencia. En el dominio de frecuencia, $ B (j \ omega) $ ahora contiene dos bandas estrechas de frecuencias centradas en $ \ omega_0 $ y $ – \ omega_0 $ (consulte la ecuación anterior).Esto significa que podemos usar una expansión de la serie Taylor de primer orden para $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

donde $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Conectando esto, podemos calcular la transformada de Fourier inversa de la primera mitad de $ B (j \ omega) $ como

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Sustituyendo $ \ omega – \ omega_0 $ para $ \ omega «$ , esto se convierte en

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega «)) e ^ {j ((\ omega» + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega «$$

que se simplifica a

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Conectando las expresiones para $ \ alpha $ y $ \ beta $ , esto se convierte en

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

De manera similar, la otra mitad de la Transformada de Fourier inversa de $ B (j \ omega) $ se puede obtener reemplazando $ \ omega_0 $ por $ – \ omega_0 $ . Teniendo en cuenta que para las señales reales, $ \ phi (\ omega) $ es una función extraña, esto se convierte en

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Así , sumando los dos, obtenemos $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Observe los retrasos en el sobre $ a (t) $ y la señal del coseno portador. El retardo de grupo $ (\ tau_g) $ corresponde al retardo en el sobre mientras que el retardo de fase $ (\ tau_p) $ corresponde al retraso en la portadora. Por lo tanto,

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

El retardo de fase de cualquier filtro es la cantidad de retardo que cada componente de frecuencia sufre al pasar por los filtros (si una señal consta de varias frecuencias).

El grupo El retraso es el retraso de tiempo promedio de la señal compuesta sufrida en cada componente de frecuencia.