Hasta ahora, en nuestra conferencia definimos los operadores de creación $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ en el de la siguiente manera, que dijimos:
Alguien te consiguió un estado de partícula N antisimétrico o simétrico y ahora $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ pone otra partícula en el estado n, de modo que terminamos con un estado de partícula N + 1 simétrico / antisimétrico. Esta interpretación es de alguna manera clara para mí en el sentido de que estos operadores $ a ^ {\ dagger}, a $ evitan los engorrosos determinantes de slater, etc. No obstante, todavía estamos tratando con estados de productos simétrizados / antisimetrizados bien definidos que se extienden o reducen en un estado, que están ocultos detrás de esta notación.
Ahora, también definimos operadores de campo en QM por $ \ psi ^ {\ dagger} (r) = \ sum_ {i; \ text {todos los estados}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dagger}. $ Dijimos que crean una partícula en la posición $ r $ . De alguna manera, no me queda claro qué significa esto:
Crear una partícula en una posición exacta $ r_0 $ en QM significaría que ahora tenemos un estado adicional $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ en nuestro determinante de pizarra. Dudo que esta sea la idea detrás de esto. Pero, dado que los operadores $ a_i ^ {\ dagger} $ actúan en el estado de las partículas $ N $ y se asignan a los estados de las partículas $ N + 1 $, lo mismo debe ser cierto para $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ . Sin embargo, tengo dificultades para interpretar el resultado.
Si algo no está claro, hágamelo saber.
Responder
Los $ \ psi_i $ en su suma no necesitan ser funciones delta. Puedes pensar, por ejemplo, que son funciones propias de energía $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$, por lo que crear una partícula en $ r $ significa que obtienes una superposición de todas las formas posibles una partícula puede estar en $ r $ (en esta elección particular de base): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {números complejos}} | i \ rangle $$ donde $ | 0 \ rangle $ es el estado de vacío (o estado fundamental si lo desea) y $ | i \ rangle $ es el estado de Fock con una partícula en el modo n-ésimo. Puede pensar en esta ecuación diciendo que para cada $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ es la amplitud de probabilidad de encontrar la partícula en la posición $ r $ si sabe que está en el estado $ i $.
Comentarios
- la interpretación de crear una superposición de todas las formas posibles en que una partícula puede llegar a la posición $ r $ me parece significativa. Quiero decir, lo que hacemos es, si lo entendí correctamente, que creamos una partícula en cualquier estado propio y buscamos la amplitud de probabilidad de que esta partícula esté en la posición $ r $. Lo que no ' no veo es cómo esta noción se relaciona con la creación real de una partícula en la posición $ r $. Si lo piensas, entonces estas son dos cosas diferentes. ¿Podría intentar explicar qué queremos modelar con este operador de campo?
- Realmente depende del contexto. La interpretación de " partícula " no siempre es adecuada, de manera más general, se puede pensar en estos operadores como la creación / aniquilación de estados cuánticos. En el contexto de QFT, estos estados son de hecho (generalmente) estados de partículas y $ | 0 \ rangle $ el estado sin partículas, y de ahí la terminología. Pero, por ejemplo, en NRQM, esto a menudo no es cierto, y el " estado de vacío " es en este caso solo el estado fundamental del sistema. . Ellos " crean " / " destruyen " indica en el sentido de que envían un espacio Fock dado a otro con un estado adicional / menos de ese tipo en particular.
Respuesta
Piense en ello como un cambio de base. $ a_i ^ \ dagger $ crea una partícula en el estado $ | i \ rangle $. Ahora, este estado $ | i \ rangle $ se puede escribir en términos de los estados de posición $ | r \ rangle $ as $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ por lo tanto, crear una partícula en este estado es equivalente a crear una partícula en una superposición de estado de posición con el peso apropiado $ \ psi_i (r) $. De manera equivalente, una partícula localizada en $ | r \ rangle $ puede describirse como si estuviera en una superposición del estado $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ y, por lo tanto, crea una partícula en el estado $ | r \ rangle $, el operador $ \ psi ^ \ dagger (r) $ está definido por el operador $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $.
Comentarios
- lo siento, pero esta respuesta es muy confusa. pareces sumar posiciones. ¡Fíjate, esa posición no es discreta! Por lo tanto, tengo serios problemas para entender sus $ | r \ rangle $ ' s.
- @TobiasHurth: que ' s solo notaciones (piense en una versión discretizada del espacio). Pero acabo de cambiar a integral, si eso te hace sentir mejor.