La señal de paso unitario definida como
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
tiene tres posibles soluciones para su representación de dominio de Fourier dependiendo del tipo de enfoque. Estos son los siguientes:
- El enfoque ampliamente seguido (Libro de texto de Oppenheim): calcular la transformada de Fourier de la función paso unitario a partir de la transformada de Fourier de la función signum.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Transformada de Fourier calculada a partir de la transformada Z de la función de paso unitario (consulte el Libro de texto de Proakis, Algoritmos y aplicaciones de procesamiento de señales digitales , páginas 267,268 sección 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Transformada de Fourier calculada dividiendo en funciones pares e impares, seguida en el libro de texto de Proakis (consulte el libro de texto de Proakis, Algoritmos y aplicaciones de procesamiento de señales digitales , página 618 sección 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
La segunda representación se puede ignorar ya que no es una función de buen comportamiento . Pero los enfoques seguidos por Proakis y Oppenheim son igualmente válidos (extienden la transformada de Fourier para incluir impulsos en el dominio de la frecuencia). Pero la confusión es que brindan diferentes soluciones.
¿Hay algún error en mi comprensión? ¿O me estoy perdiendo algún punto crucial? Por favor ayúdenme a comprender esto y la forma correcta que se puede utilizar en todas las aplicaciones. (Descubrí que el enfoque de Oppenheim se usa para derivar las relaciones Kramers-Kronig y el enfoque de Proakis usado en la derivación de la transformada de Hilbert)
Respuesta
Tenga en cuenta que la primera expresión es la transformada de Fourier del paso unitario continuo $ u (t) $, por lo que no es aplicable a la secuencia de pasos de tiempo discreto $ u [ n] $. Además, la segunda y la tercera expresión son correctas, y son idénticas si se tiene en cuenta que la segunda expresión no reclama validez en múltiplos enteros de $ 2 \ pi $.
Si dejamos fuera las frecuencias angulares en múltiplos de $ 2 \ pi $, la tercera expresión se convierte en
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
que es idéntica a la segunda expresión.
Comentarios
- ¡Muchas gracias! Sí, el segundo y el tercero son equivalentes, pero en el tercero tienen composición al incluir el impulso en los polos. Gracias por la aclaración
Respuesta
Como dijo Matt, la segunda y tercera definición son iguales excepto por la parte con impulso. El impulso ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) representa el valor DC de $ u [n] $ . Sin ese término (es decir, la segunda definición), en realidad es el FT de $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Tenemos $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Y, por tanto, el FT de $ u [n] $ tiene el término adicional para dar cuenta de la adición de $ \ frac {1 } {2} $ . Además, el tiempo discreto FT (o DTFT) de $ u [n] $ se escribe correctamente como $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
La primera definición, $ U (j \ omega) $ es el «tiempo continuo «FT (o CTFT) de $ u (t) $ (no $ u [n] $ ) y por lo tanto diferente de las otras dos definiciones.