Esta es una respuesta de baja precisión, pero simple

Te permite calcular solo la configuración de alineación radial de los planetas.

Si quieres una aproximación, digamos, aproximas la posición de los planetas como manecillas de un reloj, podrías resolver las matemáticas con algo como esto.

Suponga que $ \ theta_i $ es el ángulo inicial del planeta $ i $ en el momento $ t_0 $, medido a partir de un valor arbitrario pero fijo posición, y $ l_i $ es la duración del año, en días, para el planeta $ i $.

Luego se reanuda la resolución de este sistema de ecuaciones:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Desde aquí, simplemente aplicaría el Teorema del resto chino .

Encontrar la x mínima le dará el ángulo que el planeta que en $ t_0 $ tenía el ángulo $ \ theta_i = 0 $ habría viajado hasta que se alcanzó una configuración de alineación . A suponiendo que elija la Tierra como el planeta mencionado, luego divida ese ángulo por una revolución completa ($ 360 ^ {o} $) y obtendrá el número de años para que se alcance esa configuración, a partir de la configuración $ t_0 $.

Los diferentes $ \ theta_i $ en grados para todos los planetas el 1 de enero de 2014; puedes usar esto como tu $ t_0 $:

\ begin {align} Mercurio & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Tierra & \ quad 100.46 \\ Marte & \ quad 155.60 \\ Júpiter & \ quad 104.92 \\ Saturno & \ quad 226.71 \ \ Urano & \ quad 11.93 \\ Neptuno & \ quad 334.90 \ end {align}

Fuente

Los diferentes $ l_i $ en días para todos los planetas:

\ begin {align} Mercurio & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Tierra & \ quad 365.26 \\ Marte & \ quad 687 \\ Júpiter & \ quad 4332.6 \\ Saturno & \ quad 10759.2 \\ Urano & \ quad 30685.4 \\ Neptuno & \ quad 60189 \ end {align}

Finalmente bajo una aproximación de valores enteros y usando este solucionador en línea para el sistema de ecuaciones la respuesta es $ x = 4.0384877779832565 \ times 10 ^ {26} $ que dividido por $ 360 ^ {o} $ le da aproximadamente $$ 1.1218 \ times 10 ^ {24} \ quad \ text { years} $$

Editar 1

Acabo de encontrar este sitio con el que te gustaría jugar. Es una aplicación flash interactiva con la posición precisa de los planetas.

También sé que toda la información se puede obtener de esta página de la NASA y eso es lo más preciso que puede obtener, pero es simplemente incomprensible para mí ahora. Intentaré revisarlo más tarde cuando encuentre tiempo.

También este libro de Jean Meeus llamado Astronomical Algorithms cubre todas las ecuaciones y fórmulas fundamentales; sin embargo, no tiene nada que ver con los algoritmos de programación.

Edición 2

Ver que usted es un programador, podría valer la pena que visite el sitio de la NASA que mencioné anteriormente, incluso se puede acceder a los datos de todos los planetas a través de $ \ tt {telnet} $.O este sitio de Sourceforge donde tienen implementaciones para muchas de las ecuaciones descritas en el libro también mencionadas anteriormente.

Comentarios

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ funciona igual en los comentarios. Creo que su enfoque es el mejor que puede hacer sin simulaciones excesivas. Todo lo que necesita hacer es insertar los datos reales; esa ha sido la parte, que me hizo dudar en dar una respuesta.
• @Gerald oh Pensé que el marcado de ecuaciones no ‘ funcionaba en los comentarios. Sí, ‘ me faltan los datos, sobre todo $ \ theta_i $. Agregaré la información diferente $ l_i $.
• ¿Cómo podría ese sistema solar mostrar las posiciones relativas precisas de los planetas, cuando sus distancias al Sol no son correctas? Podría mostrar la posición de cada planeta en relación con el Sol correctamente de forma aislada y, por lo tanto, sería bueno para esta pregunta, pero no para encontrar conjunciones.
• @LocalFluff Eso es cierto. Esto solo proporciona respuesta a configuraciones de alineación radial . Editado.
• Hay varios errores en esta respuesta. Primero, usando todos los dígitos en sus tablas (lo que implica convertir a grados centígrados y centidays), de hecho obtengo $ x \ approx1.698 \ times10 ^ {42} $ (de la misma herramienta en línea), que equivale a $ 1.29 \ times10 ^ {33 } $ año No ‘ sé cómo obtuvo el valor más bajo, pero sospecho que omitió algunos dígitos. En segundo lugar, esto muestra que cuando se agregan más dígitos la solución tiende a infinito: la respuesta correcta es: la alineación radial nunca ocurre . Finalmente, asumir que las órbitas ‘ de los planetas siguen este movimiento simple es simplemente incorrecto .

La respuesta correcta es « nunca «, por varios razones. Primero , como se indica en el comentario de Florin, las órbitas del planeta no son coplanares y, por lo tanto, no es posible que se alineen , incluso si cada planeta pudiera colocarse arbitrariamente en su plano orbital. Segundo , incluso la alineación radial pura nunca ocurre porque los períodos del planeta son inconmensurables: su las proporciones no son números racionales. Finalmente , las órbitas de los planetas evolucionan en escalas de tiempo de millones de años, principalmente debido a su gravitación mutua jalar. Esta evolución es (débilmente) caótica y por lo tanto impredecible durante mucho tiempo.

La respuesta incorrecta de harogaston esencialmente se aproxima a los períodos orbitales por números conmensurables más cercanos, lo que arroja un tiempo muy largo (aunque se equivocó en un factor de solo $ 10 ^ {16} $).

Una pregunta mucho más interesante (y quizás la que realmente le interesó ) es la frecuencia con la que los 8 planetas casi se alinean radialmente . Aquí, « casi » podría significar simplemente « dentro de $ 10 ^ \ circ $ visto desde el Sol «. En tal ocasión, la atracción gravitacional mutua de los planetas se alineará y, por lo tanto, dará como resultado cambios orbitales más fuertes que el promedio.

Cualquier estimación del período común de más de dos planetas (es decir, ¿después de cuánto tiempo se alinean aproximadamente en longitud heliocéntrica nuevamente?) depende en gran medida de cuánta desviación de la alineación perfecta sea aceptable.

Si el período del planeta $ i $ es $ P_i $, y si la desviación aceptable en el tiempo es $ b $ (en las mismas unidades que $ P_i $), entonces el período combinado $ P $ de todos los $ n $ planetas son aproximadamente $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$, por lo que reducir la desviación aceptable en un factor de 10 significa aumentar el período común en un factor de $ 10 ^ {n-1} $, que para 8 planetas es un factor de 10,000,000. Por lo tanto, no tiene sentido citar un período común si no especifica también cuánta desviación era aceptable. Cuando la desviación aceptable disminuye a 0 (para lograr la «alineación perfecta»), el período común aumenta hasta el infinito. Esto corresponde a varios comentaristas «afirma que no hay un período común porque los períodos no son proporcionales.

Para los períodos de los planetas enumerados por harogaston, $ \ prod_i P_i \ approx 1.35 \ times10 ^ 6 $ cuando el $ P_i $ se miden en años julianos de 365,25 días cada uno, por lo que el período común en años es aproximadamente $$ P \ approx \ frac {1.35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ si $ b $ también se mide en años. Si los períodos se aproximan al día más cercano, entonces $ b \ approx 0.00274 $ años y $ P \ approx 1.2 \ times10 ^ {24} $ años. Si los períodos se aproximan al 0.01 día más cercano, entonces $ b \ approx 2.74 \ times10 ^ {- 5} $ y $ P \ approx 1.2 \ times10 ^ {38} $ años.

La derivación de la fórmula anterior es la siguiente:

Aproxima los períodos de los planetas por múltiplos de una unidad base $ b $: $ P_i \ approx p_i b $ donde $ p_i $ es un número entero. Entonces el período común es como máximo igual al producto de todos los $ p_i $. Ese producto aún se mide en unidades de $ b $; debemos multiplicar por $ b $ para volver a las unidades originales. , el período común es aproximadamente $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

La derivación anterior no tiene en cuenta que $ p_i $ puede tener factores comunes, por lo que la alineación ocurre antes de lo que sugiere $ \ prod_i p_i $. Sin embargo, si dos $ p_i $ tienen o no factores comunes depende en gran medida del período base elegido $ b $, por lo que es efectivamente una variable aleatoria y no afecta la dependencia global de $ P $ de $ b $.

Si expresa la desviación aceptable en términos de ángulo en lugar de tiempo , espero que obtenga respuestas que dependen del tamaño de la desviación aceptable como fuertemente en cuanto a la fórmula anterior.

Consulte http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html para ver un gráfico de $ P $ como una función de $ b $ para todos los planetas, incluido Plutón.

EDIT:

Aquí hay una estimación con una desviación aceptable en términos de ángulo . Queremos que todos los planetas estén dentro de un rango de longitud de ancho $ δ $ centrado en la longitud del primer planeta; la longitud de el primer planeta es libre. Suponemos que todos los planetas se mueven en la misma dirección en órbitas circulares coplanares alrededor del Sol.

Porque los planetas » los períodos no son proporcionales, todas las combinaciones de longitudes de los planetas ocurren con la misma probabilidad. La probabilidad $ q_i $ de que en algún momento específico la longitud del planeta $ i > 1 $ esté dentro del segmento de ancho $ δ $ centrado en la longitud del planeta 1 sea igual a $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

La probabilidad $ q $ de que los planetas 2 a $ n $ estén todos dentro del mismo segmento de longitud centrado en el planeta 1 es $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

Para traducir esa probabilidad a un período promedio, necesitamos estimar cuánto tiempo están alineados todos los planetas (dentro de $ δ $) cada vez que están todos alineados.

Los dos primeros planetas que pierden su alineación mutua son los más rápidos y los más lentos de los planetas. Si su período sinódico es $ P _ * $, entonces estarán alineados por un intervalo $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ y luego fuera de alineación por algún tiempo antes de volver a alinearse . Entonces, cada alineación de todos los planetas dura aproximadamente un intervalo $ A $, y todas esas alineaciones juntas cubren una fracción $ q $ de todo el tiempo. Si el período promedio después del cual ocurre otra alineación de todos los planetas es $ P $, entonces debemos tener $ qP = A $, entonces $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Si solo hay dos planetas, $ P = P _ * $ independientemente de $ δ $, que es lo esperado.

Si hay muchos planetas, entonces el planeta más rápido es mucho más rápido que el más lento, por lo que $ P _ * $ es casi igual al período orbital del planeta más rápido.

Aquí, también, la estimación del tiempo promedio entre alineaciones sucesivas es muy sensible al límite de desviación elegido (si hay más de dos planetas involucrados), por lo que no tiene sentido citar tal período combinado si no menciona también la desviación permitida.

También es importante recordar que (si hay más de dos planetas) estas alineaciones (casi) de todos ellos no ocurren en forma regular intervalos.

Ahora introduzcamos algunos números. Si desea que los 8 planetas estén alineados dentro de 1 grado de longitud, entonces el tiempo promedio entre dos de tales alineaciones es aproximadamente igual a $ P = 360 ^ 6 = 2.2 × 10 ^ {15} $ órbitas del planeta más rápido. Para el Sistema Solar, Mercurio es el planeta más rápido, con un período de aproximadamente 0.241 años, por lo que el tiempo promedio entre dos alineaciones de los 8 planetas dentro de 1 grado de longitud es de aproximadamente $ 5 × 10 ^ {14} $ años.

Si ya está satisfecho con una alineación dentro de los 10 grados de longitud, entonces el período promedio entre dos de estas alineaciones es aproximadamente igual a $ P = 36 ^ 6 = 2.2 × 10 ^ 9 $ órbitas de Mercurio, que son unos 500 millones de años.

¿Cuál es la mejor alineación que podemos esperar durante los próximos 1000 años? 1000 años son aproximadamente 4150 órbitas de Mercurio, entonces $ (360 ° / δ) ^ 6 \ approx 4150 $, entonces $ δ \ approx 90 ° $. En un intervalo de 1000 años elegido al azar, hay en promedio una alineación de los 8 planetas dentro de un segmento de 90 °.

Hay una forma mucho más sencilla de hacer esto.

1) Busque la longitud del año solar en días terrestres

2) multiplique la longitud de los años así: año de Mercurio * año de Venus * año de la Tierra * año marciano * Año joviano * año de Saturno * año de Urano * año de Neptuno

3) Divide por 365 para obtener años terrestres.

Y tienes un momento en el que se alinearán de nuevo longitudinalmente (es decir, los ángulos serán diferentes pero desde una vista superior formarían una línea). No se alineará con una frecuencia más alta porque algunos de estos planetas tienen un número decimal de días terrestres en su año.

Comentarios

• 4) Date cuenta de que el número que obtuviste es mucho mayor que el tiempo de Lyapunov del sistema solar, y por lo tanto no tiene sentido.

Técnicamente, la verdadera forma de encontrar el período entre la alineación de los 8 planetas es encontrar el MCM de los 8 años de duración.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Entiendo que esta es una estimación aproximada, ya que se redondean al número entero más cercano, pero da una buena idea de la cantidad de días que tomaría.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Eso es cuántos años.

Comentarios

• Este parece ser el mismo método que se describe en Caters ‘ s answe r .