En esta respuesta, Jim Clay escribe:
… usa el hecho de que $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
La expresión anterior no es muy diferente de $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
He estado intentando para obtener la expresión posterior usando la definición estándar de la transformada de Fourier $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ pero todos Termino con una expresión tan diferente de lo que aparentemente es la respuesta.
Aquí está mi trabajo:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {- j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Aquí es donde estoy atascado.
Respuesta
Su trabajo está bien excepto por el problema de que la transformada de Fourier de $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ no existe en el sentido habitual de una función de $ f $, y tenemos que extender la noción para incluir lo que se llama distribuciones, o impulsos, o deltas de Dirac, o (como solemos hacer los ingenieros, mucho el disgusto de los matemáticos) funciones delta . Lea sobre las condiciones que deben cumplirse para la transformada de Fourier $ X (f) $ de la señal $ x (t) $ exista (en el sentido habitual) y verá que $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ no tiene una transformada de Fourier en el sentido habitual.
Pasando a su pregunta específica, una vez que comprenda que los impulsos se definen solo en términos de cómo se comportan como integrandos en una integral, es decir, para $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ siempre que $ g (x) $ sea continuo en $ x_0 $, entonces es más fácil deducir la transformada de Fourier de $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ reflexionando sobre el hecho de que $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$, por lo que debe ser $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ es la inversa transformada de Fourier de $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Responder
Entonces simplemente use una tabla de pares de transformadas de Fourier para ver que $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $, y sustitución de variables ($ f_1 = f + f_0 $ y $ f_2 = f-f_0 $), para obtener lo que necesita.
Comentarios
- Lo que, por supuesto, plantea la pregunta de cómo la persona que escribió la tabla y obtuvo la respuesta que está en la tabla.
- @DilipSarwate 🙂 Ahora ' estás haciendo una pregunta mucho, mucho más difícil. 🙂
- Vea mi respuesta para obtener una versión de la respuesta a la pregunta mucho más difícil que podría aprobarse en este intercambio de pila si no es en matemáticas. SE!
- @DilipSarwate: usted ' ya tengo mi +1. Gracias, buena respuesta. Estuvieron de acuerdo los tipos de matemáticas. SE estaría horrorizado. Está bien, somos ' ingenieros. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…