Quiero analizar la derivación de la representación de frecuencia de un tren de impulsos.
La definición de la función de tren de impulsos con período $ T $ y la representación de frecuencia con frecuencia de muestreo $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $ que me gustaría derivar es:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
El uso de la representación de la serie de Fourier exponencial de la función de impulso y la aplicación de la transformada de Fourier desde allí da como resultado:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
Para llegar desde allí al resultado final, parecería que la integración debe ser durante un período de $ 2 \ pi $. Donde $ \ Omega = -k \ Omega_s $, el exponente sería $ e ^ 0 $ y se integraría a $ 2 \ pi $ y para otros valores de $ \ Omega $, habría una onda sinusoidal completa que se integraría a cero. Sin embargo, los límites de integración son infinitos negativos a infinitos positivos. ¿Alguien puede explicar esto? ¡Gracias!
Respuesta
Has descubierto correctamente que las integrales que ocurren no convergen en el sentido convencional. La forma más fácil (y Una forma definitivamente no rigurosa de ver el resultado es observando la relación de transformación de Fourier
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Por el desplazamiento / propiedad de modulación que tenemos
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Entonces cada término $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ en la serie de Fourier se transforma en $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $, y el resultado sigue.
Comentarios
- Esto es perfecto y mucho más fácil de lo que imaginé. ¡¡¡Muchas gracias !!!
- La otra respuesta también era correcta. Cambié la aceptada.
Respuesta
@MattL sugirió una forma sencilla y agradable de ver el resultado anterior.
Pero si desea ver el resultado en las ecuaciones de análisis normales que mencionó, puede hacer lo siguiente.
Digamos que S (t) es un tren periódico de impulsos, por lo que S (t) se puede escribir como
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Ahora, si toma la serie de Fourier de S (t), puede escribir S (t) como
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Donde $ C_n $ son coeficientes exponenciales de la serie de Fourier y $ w_o $ es el frecuencia fundamental.
Entonces, de la serie exponencial de Fourier sabemos que
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Ahora, en la expresión anterior, sustituya el valor de S (t) de la primera expresión.
Entonces $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Ahora, tienes que hacer una observación, si observas la integral, es de -T / 2 a + T / 2. Durante este período integral, observe que sólo existe un solo impulso $ \ delta (t) $. Todas las demás funciones de impulso en la suma ocurren después de T / 2 o antes de -T / 2. Entonces, en total, la ecuación anterior para $ C_n $ se puede escribir como
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
A partir de la propiedad de tamizado podemos escribir lo anterior como
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Ahora coloque este valor de $ C_n $ en la primera ecuación S (t)
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Ahora encuentre la transformada de Fourier de la ecuación anterior
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Entonces, la transformada de Fourier es $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Esto debería ayudar.