¿Descripción simple de la interacción de intercambio?

La interacción de intercambio es una adición a otras interacciones entre partículas idénticas causadas por la simetría de permutación.

Esta adición es el resultado de una forma específica de múltiples partículas función de onda. No aporta ninguna contribución a las interacciones hamiltonianas a diferencia de «habituales», pero aparece como un término adicional en las ecuaciones para funciones de onda de partículas únicas (p. Ej., Ecuación de Hartree-Fock).

Interacción normalmente asociada con energía y fuerzas. Podríamos encontrar la corrección de intercambio como una fuerza agregada a las fuerzas de Coulomb, pero primero debemos entender qué es la fuerza en el sistema cuántico.

Consideremos dos fermiones con funciones de onda coordinadas de una sola partícula $ \ psi_a ( x) $ y $ \ psi_b (x) $ y funciones de onda de giro $ \ phi_a (s) $ y $ \ phi_b (s) $. Las posibles funciones de onda de dos partículas son singlete con parte coordinada simétrica $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ y triplete con coordenada antisimétrica parte $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$

Deja que el hamiltoniano de dos partículas no dependa de los giros: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ entonces la energía promedio de la interacción será: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$

El término $ U_ \ text {ex} $ no es cero solo si las partículas están lo suficientemente cerca unas de otras y sus funciones de onda se superponen (ver imagen a continuación). En el límite clásico, cuando la distancia $ L $ es grande, la superposición es cero y $ U_S = U_A = U $

Supongamos que $ \ psi_a $ y $ \ psi_b $ no son negativos en todas partes y $ V $ actúa como interacción de Coulomb (es decir, positiva y disminuye cuando aumenta la distancia). Entonces $ U $ y $ U_ \ text { ex} $ son positivas y la energía del estado de coordenadas simétricas (espinas opuestas) es mayor que la energía del estado de coordenadas antisimétricas (espinas similares). Si las posiciones promedio de las partículas son fijas, la interacción de intercambio colocará los espines en la misma dirección.

La fuerza de interacción entre las partículas se puede definir como la fuerza generalizada correspondiente al parámetro L: $$ F = – \ frac {\ parcial U} {\ parcial L} $$ Dentro de nuestras suposiciones relativas a $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ y $ V $ la derivada de $ U $ y $ U_ \ text {ex} $ son negativas. Por lo tanto, la fuerza «habitual» es positiva (repulsión) y la fuerza de intercambio es positiva para la coordenada simétrica s tate y negativo para el estado de coordenadas antisimétricas (atracción).

Entonces, la interacción de intercambio para el caso de dos las partículas se pueden considerar como una fuerza adicional dependiendo de la configuración de giro. Para múltiples partículas esto es más complicado.

Comentarios

• Hola, ¿cómo entender la fuerza efectiva de interacción de intercambio para Fermion es atractiva? Muy contradictorio.