Doce bolas y una escala

Divide esto i nto tres grupos de cuatro, A1, A2, A3, A4; B1, B2 …; C1, C2 … Cada paso aquí corresponde a un pesaje.

• Pese A contra B.
  • Si A> B, entonces pese A1, B1 y B2 contra B3 , B4 y C1.
    • Si los pesos son iguales, entonces uno de A2 … 4 es más pesado; pesar A2 y A3. Si son iguales, A4 es más pesado. Si uno es más pesado, entonces esa pelota es más pesada.
    • Si el primer grupo es más pesado, entonces A1 es más pesado o B3-4 es más ligero. Compare B3 y B4; si son iguales, A1 es más pesado; si son diferentes, la más ligera es la bola más ligera.
    • Si el primer grupo es más ligero, entonces B1 o B2 es más ligero. Péselos y observe.
  • Si A < B, vuelva a numerar todas las bolas A por bolas B y realice lo anterior
  • Si A = B, pese A1, A2, A3 contra C1, C2, C3
    • Si son iguales, pese A1 contra C4. Si A1 es más ligero, entonces C4 es la bola extraña y es pesada. Si A1 es más pesado, entonces C4 es la bola extraña y es liviana.
    • Si A es más pesado que C, pese C1 contra C2. Si son iguales, entonces C3 es la bola extraña y es más ligera. Si no son iguales, entonces la más liviana de las dos bolas es la más liviana.
    • Si A es más liviana que C, pese C1 contra C2. Si son iguales, entonces C3 es la bola extraña y es más pesada. Si no son iguales, la más pesada de las dos bolas es la más pesada.

Podemos trabajar hacia atrás desde el tercer paso para ver, aproximadamente, por qué funciona. En el tercer pesaje, las opciones deben reducirse a dos o tres bolas. Esto significa que el segundo pesaje debe reducirse a dos o tres bolas posibles.

Sabemos que el primer paso eliminará 1/3 o 2/3 de las posibles soluciones, sin importar lo que haga. Esto significa que, en el caso de 1/3, debe dividir las posibilidades de 8 en un grupo de 3, un grupo de 3 y un grupo de 2. A partir de esto, el tercer peso apunta a la bola impar. Debido a que este caso implica que un juego de bolas es más pesado, en virtud de encontrar la bola extraña, sabemos si es más pesada o más liviana, por lo que en realidad no tenemos que preocuparnos por esta información en absoluto.

En el caso de 2/3, debe reducir las posibilidades a un grupo de 3 y un grupo de 1, lo cual es bastante fácil de hacer de forma intuitiva. Debido a que en realidad no conocemos el peso relativo de la bola extraña en este caso, la información del tercer pesaje debe usarse para determinar si la bola es más pesada o más liviana.

Comentarios

• Si bien esta respuesta es correcta, esperaba una respuesta que explicara la estrategia detrás de las opciones de elementos a pesar.
• @JoeZ. I ‘ he agregado un poco acerca de cómo determiné esta respuesta, aunque ‘ no estoy seguro de poder hablar sobre una solución general a este problema. (Además, Para su información, ‘ he editado mi respuesta a su otra pregunta.)
• Lo que ‘ ha puesto es bien. Estaba pensando en el razonamiento más que en la estrategia, ahora lo pienso de nuevo.

Ahí es otra forma de resolver este problema, que no implica ningún tipo de ramificación condicional. De hecho, es posible establecer un programa de pesaje fijo de antemano y aún así determinar qué bola es más liviana o más pesada en solo 3 pesajes. Explicaré cómo a continuación.

La esencia de problemas como estos es, ¿cuánta información puede obtener del procedimiento que está autorizado a realizar? Con cada pesaje, la báscula puede inclinarse hacia la izquierda, inclinarse hacia la derecha o mantenerse equilibrada.Esto le da un total de 3 ³ = 27 resultados posibles, y en este caso necesita discernir 24 resultados de ellos (una de las 12 bolas es liviana o pesada, que es 12 × 2 = 24 ).

Por lo tanto, debemos comenzar la tediosa tarea de asignar cada resultado a un resultado.

Una de las cosas que podemos notar de inmediato es que también hay tres estados en cada bola puede estar dentro durante cada pesaje: en el lado izquierdo de la báscula, en el lado derecho de la báscula o fuera de la báscula. Naturalmente, esto se asigna a los estados de la escala de una manera que es intuitivamente análoga:

Si la bola extraña es más pesada …

• y la bola es colocada en el lado izquierdo, la escala se inclinará hacia la izquierda.
• y la bola se coloca en el lado derecho, la escala se inclinará hacia la derecha.
• y la bola se fuera de la escala, la escala permanecerá equilibrada.

Si la pelota es más liviana, las dos primeras cajas están invertidas.

Hay 27 formas posibles de colocar cada pelota en los tres pesajes, cada uno correspondiente a un resultado diferente si esa bola es la que no sale. Necesitamos encontrar una disposición de bolas donde cada conjunto posible de ubicaciones y su inverso (para los casos pesado y ligero) sea distinto, por lo que no dos bolas están en el mismo lugar para los tres pesajes.

Aquí hay una disposición preliminar que satisface la propiedad de distinción. Observe que no aparece ningún arreglo posible más de una vez en ambas tablas:

 Normal Inverse Ball 1 2 3 1 2 3 1 L R 2 L R 3 L R 4 L R R L 5 L R R L 6 L R R L 7 L L R R 8 L L R R 9 L L R R 10 L L R R R L 11 L R L R L R 12 R L L L R R L = place it on the left R = place it on the right = leave it off 

De inmediato, nos encontramos con el problema de que no estamos poniendo el mismo número de bolas en cada balanza. Si tienes siete bolas en un lado y una en el otro, por supuesto que la balanza se inclinará hacia un lado con siete bolas (a menos que tu bola extraña sea ridículamente pesada, pero no entretengamos eso guión). Por tanto, necesitamos invertir algunas de estas configuraciones para poner cuatro a cada lado para cada pesaje. Con un poco de prueba y error, podemos obtener algo como esto:

 Normal Inverse Ball 1 2 3 1 2 3 1 L R 2 L R 3 R L 4 L R R L 5 R L L R 6 L R R L 7 R R L L 8 L L R R 9 L L R R 10 R R L L L R 11 R L R L R L 12 L R R R L L 

Entonces, nuestro programa final de pesaje de bolas es el siguiente:

Weighing 1: 1 4 8 12 / 5 7 10 11 Weighing 2: 2 6 9 11 / 4 7 10 12 Weighing 3: 5 8 9 10 / 3 6 11 12 

Y los resultados se interpretan como tales:

==L : 3L L== : 1H R== : 1L ==R : 3H L=L : 8H R=L : 5H =L= : 2H L=R : 5L R=R : 8L =LL : 9H LL= : 7L RL= : 4L =LR : 6H LLR : 10L RLL : 12L =R= : 2L LR= : 4H RLR : 11H =RL : 6L LRL : 11L RR= : 7H =RR : 9L LRR : 12H RRL : 10H = : scale balanced L : scale tipped to the left R : scale tipped to the right nL : ball n is light nH : ball n is heavy 

Y así, hemos creado un esquema de pesaje en el que cada pesaje está completamente predeterminado de antemano, que aún logra determinar qué bola es la extraña y si es más ligera o más pesado.

Es posible que observe que no usamos LLL, RRR o === en nuestros arreglos.

No podemos «usar LLL y RRR como 13º par para una 13ª bola, porque entonces tendríamos que poner nueve bolas en la balanza, y no hay forma de hacerlo ya que nueve es impar. probablemente podría usarlo en lugar de uno de los LLR/RRL pares, pero dejando LLL y RRR out crea una simetría en el gráfico de resultados que me gusta.

Sin embargo, lo interesante es que puedes tener una bola número 13 que nunca colóquelo en cualquier balanza, y si su balanza se equilibra en los tres pesajes, la decimotercera bola que nunca pesó es la bola extraña (aunque obviamente no puede decir sin una cuarta pesada si es más ligera o más pesada).

Comentarios

• Entonces, básicamente uno puede resolver esto con 13 bolas, si se tiene la 14-th etalon ball. Gran respuesta.
• Probablemente incluso 14 bolas, donde la 14ª bola puede ser más pesada, se puede resolver, pero es más difícil, lo más probable es que puedas ‘ t.

Algunas de las respuestas existentes a esta antigua pregunta son excelentes, pero hay una famosa respuesta que Creo que merece ser mencionado aquí. Proviene de un artículo en Eureka , la revista anual de la sociedad de estudiantes de matemáticas de la Universidad de Cambridge, escrito por CAB Smith bajo el seudónimo de «Blanche Descartes».

Tiene dos características muy interesantes. La primera es que es una solución «no ramificada»: no es necesario cambiar lo que hace en pesajes posteriores en función de los resultados de los anteriores. El segundo es que una vez que lo has visto es casi imposible de olvidar.

La solución de Smith está escrita completamente en verso e incluye una explicación de cómo funciona todo, pero citaré solo el respuesta real. «F» aquí es nuestro protagonista, el profesor Felix Fiddlesticks, cuya madre le ha pedido ayuda con el rompecabezas. He hecho algunos cambios insignificantes en el formato original.

F colocó las monedas en una fila
Y marcó con tiza en cada una una letra, entonces,
Para formar las palabras: F AM NOT LICKED
(An idea en su cerebro había hecho clic.)

Y ahora a su madre le ordenará:
«MA, HACER / ME GUSTA PARA / ENCONTRAR
FALSO / MONEDA!»

Cada una de las tres líneas del mandato de F describe una ponderación.Cuando las haya hecho todas, los resultados determinan de forma única qué moneda es falsa y de qué manera.

Comentarios

• +1. Esto creo es una versión embellecida de la respuesta de Joe Z ‘

Pasé un tiempo trabajando en este rompecabezas después de que apareció en «Brooklyn Nine-Nine» (si lo desea, puede ver al Capitán Holt describir el rompecabezas aquí ) y escribí una solución ilustrada y detallada aquí: Solución Island of Tyreses . En este versión particular Estoy tratando de encontrar un isleño, Diffy, que sea más pesado o más ligero que los otros 11 isleños.

Lecciones

La solución final tiene en cuenta dos cosas que aprendí de intentos anteriores:

1. En un grupo de cuatro, puedo identificar a Diffy en dos pesajes.

   A. Primero, pongo dos isleños del grupo contra dos conocido no Dif fys. Si el balancín se inclina, sé que Diffy es uno de estos dos. Si el balancín permanece parejo, sé que Diffy es uno de los otros dos.

   B. Ahora, selecciono uno de los dos posibles Diffys restantes y lo pongo contra un conocido que no es Diffy. Si la balanza se inclina, he encontrado a Diffy. Si el tablero permanece parejo, sé que Diffy es el último isleño que queda.

   C. Alternativamente, si el balancín se inclina en el Paso A, y desea saber si DIffy es pesado o liviano, puede observar la dirección del Paso A y colocar los dos Diffys posibles restantes en la escala uno frente al otro. Si el balancín se inclina en la misma dirección que el Paso A, entonces Diffy sigue en el mismo lado que estaba durante el Paso A. De lo contrario, si la orientación del balancín cambia, Diffy está del otro lado.

2. En un grupo de tres puedo identificar a Diffy en un pesaje, siempre que tenga información direccional. Describiré esto con más detalle en el Uso # 3.

Solución

Debido a la lección # 1, puedo separar a cuatro isleños antes de verificar el resto. Si Diffy está en ese grupo de cuatro, el primer pesaje saldrá parejo y ahora puedo identificarlo entre esos cuatro con mis dos movimientos restantes. Si Diffy no está en ese grupo de cuatro, ahora tengo cuatro isleños que puedo descartar y también usar para tarar mi balancín.

Entonces, para mi primer uso del balancín, sopesa los ocho isleños restantes entre sí con cuatro a cada lado.

Usa el n. ° 1

Ya describí mi plan si este primer uso de balancín resulta par, entonces, ¿qué sigue si resulta extraño? Aquí es donde entra el genio.

Ahora tengo algo de «información direccional». De ahora en adelante llamaré a cualquier dirección en la que se haya inclinado el balancín en Use 1 «Dirección 1» o «D1» para abreviar. Sé que si Diffy es pesado, está en la parte del balancín que bajó, y si Diffy es liviano, está en la parte del balancín que subió. Si muevo a Diffy, el balancín cambiará de orientación. No tiene otra opción porque Diffy, y solo Diffy, hace que el balancín se incline. Además, recuerde la lección # 2, tengo información direccional y un movimiento después del actual, por lo que puedo eliminar tres Diffys posibles antes del próximo uso del balancín. Necesitaré usar uno de los isleños que descarté en el Uso 1 para mantener tres isleños en cada lado.

Uso # 2

Si el Uso # 2 nos da un equilibrio, podemos encontrar a Diffy en los tres que eliminamos, pero si no es así, debemos prestar atención a la dirección en que se mueve el balancín. ¿Se movió de la misma manera que antes, Dirección 1, o cambió la orientación a la Dirección 2? ¡Nuestra próxima elección se basará en la respuesta! Si se movió en la Dirección 1, entonces sabemos que Diffy no es uno de los isleños que cambió de bando para el Uso # 2. Si el balancín se movió en la Dirección 2, entonces Diffy es uno de los cambiadores laterales. De cualquier manera, lo hemos reducido a ser uno de tres o dos. El uso # 3 es un poco difícil de generalizar ya que es diferente para cada posibilidad.

Uso # 3

En el caso donde tengo un grupo de tres posibles isleños de Diffy, dos de esos isleños estaban en el mismo lado durante el Uso # 1, cuando el balancín se movió hacia D1. Si coloco a uno de estos isleños a cada lado del balancín y el balancín se mueve de nuevo a D1, entonces sabemos que Diffy es el isleño del lado original. Si el balancín se mueve hacia D2, entonces sabemos que Diffy está en el lado opuesto del balancín. Si el sube y baja sigue igual, sabemos que Diffy es el tercer miembro del grupo.

Todos asignados

Comentarios

• Esta solución es defectuosa para esta pregunta.Es aceptable solo si piden identificar a Diffy, pero no si es más liviano o más pesado (vea Par – Par – Incluso en su diagrama, L no ha sido ponderado :)) Por otra parte, en ese caso podemos resolver el acertijo con 13 personas.

Esta es una reescritura de R. Allen Gilliam de La solución de Jared Anderson de otra versión de este acertijo en este sitio. Tal vez sea así como funciona mi mente, pero parece mucho más fácil de entender.

Numera los hombres (o monedas, o bolas) del 1 al 12.
Pesa 1 2 3 4 contra 5 6 7 8.
Si son iguales, entonces el hombre diferente es 9 10 11 o 12. Vaya a I a continuación.
Si son diferentes, tome nota de si 1 2 3 4 es más pesado o más ligero.

Pese 1 2 3 5 contra 4 10 11 12. (Observe que sabemos que 10 11 y 12 no son diferentes). Hay tres posibilidades:
(1) Si 1235 tiene la misma diferencia (más pesada o más ligera) como 1234, entonces la diferente debe ser 1 2 o 3 y tiene la misma diferencia (más pesada o más ligera) que 1234. Vaya a II a continuación.
(2) Si 1235 sale 4 10 11 12 , entonces el diferente debe ser 6 7 u 8 (los que quitamos) y tiene la misma diferencia (más pesado o más liviano) que 5678. Pase a II a continuación.
(3) Si 1235 ahora tiene la diferencia opuesta (más pesado o más claro) como 1234, entonces 4 o 5 es el diferente. O 4 tiene la misma diferencia que 1234 (más pesado o más liviano) o 5 tiene la misma diferencia que 5678 (más pesado o más liviano). Así que simplemente sopesamos 4 contra 1. Si son iguales, entonces 5 es diferente. Si son diferentes, entonces 4 es diferente.

I. Encontrar cuál de 9 10 11 12 es diferente con dos pesajes cuando no sabes si el diferente es más pesado o más ligero:

Pesa 9 contra 10. Dos posibilidades:
(1) Si «son diferentes, entonces tiene que ser 9 o 10. Pesa 9 y 11. Si» son iguales, 10 es el diferente. Si «son diferentes, es 9.
(2) Si «Son iguales, entonces tiene que ser 11 o 12. Pesa 9 y 11. Si» son iguales, 12 es el diferente. Si «son diferentes, es 11.
(Si es» s 12, no sabremos si pesaba más o más liviano ya que nunca lo pesamos. Lo encontramos por proceso de eliminación. Debe ser el diferente ya que todos los demás pesan lo mismo).

II. Encontrar cuál de los tres hombres es diferente con un peso cuando se sabe si el diferente es más pesado o más liviano:

Cambie el nombre de los tres hombres 1 2 3. Pese 1 contra 2. Dos posibilidades:
(1) Si son iguales, 3 es el diferente.
(2) Si son diferentes, cualquiera que tenga la diferencia correcta. rence (más pesado o más ligero) es el diferente.

Esta parece ser la solución más sencilla para 12 elementos si solo debe encontrar el elemento de diferente peso, como piden algunas versiones del rompecabezas. La solución de Joe Z puede encontrar el elemento y la diferencia con 12 elementos y el elemento diferente con 13 elementos. Encontrar el elemento diferente y la diferencia con 14 elementos parece matemáticamente imposible con 3 ponderaciones porque solo hay 27 resultados posibles con 3 ponderaciones y hay 28 posibilidades con 14 elementos. Pero, ¿podría una variación de la solución de Joe Z encontrar el elemento diferente de 13, y si es más pesado o más liviano? Si es así, entonces encuentre el elemento diferente pero no la diferencia con 14 Los artículos serían posibles. Encontrar el diferente pero no la diferencia entre 15 sería imposible porque puede dejar solo un artículo fuera de los pesajes y al mismo tiempo poder identificar el diferente, y si pesa el artículo, entonces saber si es más ligero o más pesado, lo cual sabemos que es matemáticamente imposible con 14 elementos.

Esta solución es similar a el proporcionado por R Gilliam pero difiere en el segundo paso. Divi de las bolas en 3 grupos de 4 bolas cada uno. Vamos a llamarlos g1 g2 y g3, elija dos grupos cualesquiera y péselos entre sí. Uno de los dos escenarios es cierto. Las bandejas están equilibradas: las 8 bolas que acaba de pesar todas tienen el peso correcto. Las bandejas están desequilibradas: 4 bolas que no pesaste todas tienen el peso correcto.

De cualquier manera, al final del primer pesaje tienes al menos 4 bolas del peso correcto.

Para el segundo pesaje un lado del plato debe tener 3 bolas del peso correcto. Si los platos estaban desequilibrados después del primer pesaje, coloque 3 bolas de uno de los platos desequilibrados en el otro plato. Si los platos estaban equilibrados después del primer pesaje, coloque 3 de los 4 bolas que quedaron fuera del primer pesaje en el otro plato.

Si los platos están desequilibrados después de este pesaje, sabrá si el bicho raro es más pesado o más ligero ya que uno de los platos contiene bolas del peso correcto. Si las bandejas están equilibradas, la cuarta bola que quedó fuera es la bola rara y puede averiguar si es más pesada o ligera. luchar pesándola contra una bola del peso correcto.

Si los platos están desequilibrados, sabrá si el bicho raro es más pesado o más ligero. Tome 2 de las 3 bolas del plato (que no contiene las bolas del peso correcto) y péselas una contra la otra. Ya sabes si el bicho raro es más pesado o más ligero. Si las bandejas están desequilibradas, elija la bandeja que coincida con la dirección del peso del bicho raro. si las bandejas están equilibradas, la tercera bola es la bola rara.

También puedes resolverlo usando 4 grupos de 3 bolas . Pese 3 contra 3 y, si se equilibra, puede mantener esas 6 bolas a un lado como conocidas como iguales. Si no se equilibran, sabrá que la bola impar está en ese grupo de 6. Luego, pese 3 de los iguales conocidos contra cualquiera de los 2 grupos de 3 incógnitas. Si se equilibra, la bola impar está en la última grupo de 3. Si no se equilibra, sabrá que el impar está todavía en la escala. Finalmente, usando el último grupo de 3 bolas que es desconocido y desigual, coloque una en cada extremo y deje la tercera a un lado. Si la balanza se equilibra, sabrá que la única bola que dejó a un lado es la bola extraña. Si la balanza no se balancea, usted sabe que la bola extraña está en la balanza. Para determinar la bola extraña y si es más pesada o más ligera, debe haber anotado si el grupo desconocido era más pesado o más ligero que el conocido igual grupos. Si fueran más pesadas, entonces la bola solitaria es más pesada.

Comentarios

• » Para determinar el bola impar y si es ‘ s más pesada o más ligera, debe haber anotado si el grupo desconocido era más pesado o más ligero que los grupos iguales conocidos. » Si los tres grupos que pesó en los dos primeros pesajes eran iguales, entonces ‘ no tiene esta información.

(1) Coloque las bolas 6 y 6 en la balanza. Retire uno de cada lado hasta que la escala se equilibre.

(2) Tome las dos últimas que quitó (o las dos restantes si la balanza nunca se equilibró) y colóquelas en un lado (lado A) y dos bolas de igual peso en el otro (lado B). Si el lado A es más bajo, el bicho raro es más pesado, si el lado B es más bajo, el bicho raro es más ligero. Retire uno de cada lado. Si la balanza se equilibra, la bola extraída del lado A es la bola rara, si no, la bola que queda en el lado A sí lo es.

Comentarios

• Eso requiere up a siete pesajes. El problema le pide que lo haga en tres.
• @nosun – Bienvenido a puzzling.se. Solo para hacerle saber, las respuestas incorrectas a veces se votan negativamente para ayudar a separarlas de las buenas respuestas. Esto no pretende disuadirlo de dar buenas respuestas a otras preguntas.