En la imagen de Heisenberg (usando dimensiones naturales): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, entonces podemos tomar una derivada parcial de ambos lados con respecto al tiempo: $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ parcial_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Por lo tanto, $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$ pero esto no es equivalente a lo que muchos libros de texto enumeran como la ecuación de movimiento de Heisenberg. En su lugar, afirman que $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. \ tag {4} $$ ¿Por qué, en general, esto es cierto y no la declaración anterior? ¿Estoy siendo pedante con mi uso de derivadas parciales y totales?
Comentarios
- ¿Por qué aplicó la derivada parcial? En el formalismo de Heisenberg, los kets estatales están fijos en el tiempo y los operadores varían en el tiempo. Entonces puede tomar la derivada de tiempo total del operador en el LHS.
- Lo siento, no puedo ‘ entender su lógica allí. Aquí el $ O_s $ puede variar con el tiempo y también lo hace $ O_H $, pero está muy claro que en el LHS hay un total derivado del tiempo de $ O_H $, y hay un parcial tiempo derivado que aparece en el RHS. ¿Por qué no son ‘ t ambos derivados parciales en el tiempo?
- @ I.E.P. En Eq. (2), en el lado izquierdo, ¿por qué no es ‘ $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, En el lado izquierdo, debe usar $ \ frac {d \, O_H} {dt} $, y la derivada total puede expresarse como la suma de derivadas parciales.
- @IEP Creo que aquí lo que te falta es la diferencia matemática de la derivada total y la derivada parcial. A la izquierda $ O_H $ como función de $ t $, de ahí la derivada total, a la derecha, $ O_H $ como una función compuesta a través de la relación (1), de ahí la derivada parcial para cada función componente.
Respuesta
Con algunas definiciones para hacer explícitas las dependencias de tiempo, su ecuación (4) puede tener sentido. Tomemos lo siguiente:
Sea $ O_s $ un operador dependiendo del tiempo y otros parámetros $ O_s: \ mathbb {R} \ times S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, donde $ S $ es el espacio de los otros parámetros y $ \ mathrm {Op} $ es el espacio de los operadores en el espacio de Hilbert. Sea $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ denota la evolución temporal de los operadores en la imagen de Heisenberg, dada por $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Tenga en cuenta que $ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ y $ \ partial_O \ phi = \ phi $ (porque $ \ phi $ es lineal en $ O $). Ahora, dado un parámetro $ p \ en S $ podemos definir la función del tiempo: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ con $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Nuestra función $ O_H $ es una un parámetro uno, por lo que solo tiene sentido tomar su derivada total: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ partial_O \ phi) _t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ partial_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt} \ end {align}
donde en el primer paso he aplicado la regla de la cadena y en los demás, las igualdades que ya teníamos.
Respuesta
No, no estás «simplemente» siendo pedante con tu mal uso de las derivadas parciales: tus ecuaciones (2) y (3) son completamente incorrectas. Simplemente no aplicó correctamente las definiciones, como @WeinEld ha estado señalando. (Es posible que se haya ahorrado el dolor si ilustró su pregunta para un sistema simple, como el SHO).
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ entonces para $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ donde $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ y lo mismo para p .
La derivada temporal de $ O_H $ consiste en la derivada parcial wrt t después del punto y coma, más la derivada convectiva debido al flujo de x y p en la imagen de Heisenberg, $$ \ frac {\ O_H parcial} {\ X parcial (t)} \ dot {x} + \ frac {\ O_H parcial} {\ parcial p (t)} \ dot {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (¡Demuestre esto! A menos que lo haya hecho, la discusión es pura vapor.)
La derivada parcial es $$ \ frac {\ parcial O_H} {\ parcial t} = e ^ {iHt} \ frac {\ O_S parcial} {\ t parcial} e ^ {- iHt} = \ izquierda (\ frac {\ O_S parcial} {\ t parcial} \ derecha) _H. $$ (Algunos expresan esto como $ \ frac {\ parcial O_H} {\ parcial t} $, confiando en que el lector entenderá correctamente la diferenciación evidente de solo el argumento después del punto y coma, pero esta misma pregunta puede hacerlos piénselo dos veces . Ahora, para estar seguro, dado que $ O_S $ tiene una derivada convectiva que desaparece, $ dO_S / dt = \ Particular O_S / \ Particular t $, como se plantea en un comentario, así que esto no es un problema.)
En cualquier caso, al juntar las dos piezas se obtiene el $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H convencional. $$
Monitorea el comportamiento evidente de un observable simple como $ O_S = tx $ en el SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, el célebre rígido rotación de tipo clásico en el espacio de fases, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; así $ O_H = tx (t) $. Por lo tanto $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: ahora apreciamos las eficiencias y diferencias de las respectivas imágenes. (Por ejemplo, $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ con la notación de mapa ad ad de los físicos «con la» costumbre de evitar el matemático «.)
Puede orientarse al pensando en la imagen S como el marco euleriano, y la imagen H como el marco comoving de Lagrange.