Problema
Supongamos que $ Y \ sim \ text {N} (\ text {mean} = \ mu, \ text {Var} = \ frac {1} {\ tau}) $.
Basado en una muestra, obtenga las distribuciones posteriores de $ \ mu $ y $ \ tau $ usando el muestreador de Gibbs.
Notación
$ \ mu $ = media de población
$ \ tau $ = precisión de población (1 / varianza )
$ n $ = tamaño de muestra
$ \ bar {y} $ = media de muestra
$ s ^ 2 $ = variación de muestra
Muestra de Gibbs
[ Casella, G. & George, EI (1992). Explicando el muestreador de Gibbs. The American Statistician, 46, 167-174. ]
En la iteración $ i $ ($ i = 1, \ dots, N $ ):
- muestra $ \ mu ^ {(i)} $ de $ f (\ mu \, | \, \ tau ^ {(i – 1)}, \ text {data} ) $ (ver más abajo)
- muestra $ \ tau ^ {(i)} $ de $ f (\ tau \, | \, \ mu ^ {(i)}, \ text {data}) $ (ver más abajo)
La teoría asegura que después de un número suficientemente grande de iteraciones, $ T $, el conjunto $ \ {( \ mu ^ {(𝑖)}, \ tau ^ {(𝑖)}): i = T + 1, \ dots, 𝑁 \} $ puede verse como una muestra aleatoria de la distribución posterior de la articulación.
Priors
$ f (\ mu, \ tau) = f (\ mu) \ veces f (\ tau) $, con
$ f (\ mu) \ propto 1 $
$ f (\ tau) \ propto \ tau ^ {- 1} $
Posterior condicional para la media, dada la precisión $$ (\ mu \, | \, \ tau, \ text {data}) \ sim \ text {N} \ Big (\ bar {y}, \ frac {1} {n \ tau} \ Big) $$
Posterior condicional para la precisión , dada la media $$ (\ tau \, | \, \ mu, \ text {data}) \ sim \ text {Gam} \ Big (\ frac {n} {2}, \ frac {2} {(n-1) s ^ 2 + n (\ mu – \ bar {y}) ^ 2} \ Big) $$
(rápida) implementación de R
# summary statistics of sample n <- 30 ybar <- 15 s2 <- 3 # sample from the joint posterior (mu, tau | data) mu <- rep(NA, 11000) tau <- rep(NA, 11000) T <- 1000 # burnin tau[1] <- 1 # initialisation for(i in 2:11000) { mu[i] <- rnorm(n = 1, mean = ybar, sd = sqrt(1 / (n * tau[i - 1]))) tau[i] <- rgamma(n = 1, shape = n / 2, scale = 2 / ((n - 1) * s2 + n * (mu[i] - ybar)^2)) } mu <- mu[-(1:T)] # remove burnin tau <- tau[-(1:T)] # remove burnin
$$ $$
hist(mu) hist(tau)
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