El enigma de la rana – Probabilidades condicionales

Veamos el par de ranas. Las ranas macho se identifican croando en el video.

Como se explica en el video, antes de escuchar cualquier croar, hay 4 resultados igualmente probables dados 2 ranas:

• La rana 1 es macho, la rana 2 es macho
• La rana 1 es hembra, la rana 2 es macho
• La rana 1 es macho, la rana 2 es Hembra
• La rana 1 es hembra, la rana 2 es hembra

Suponiendo que los machos y las hembras ocurren por igual e independientemente, nuestro espacio muestral es $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, y tenemos una probabilidad de $ 1/4 $ para cada elemento.

Ahora, una vez que escuchemos el croar provenientes de este par, sabemos que al menos una rana es macho. Por lo tanto, el evento $ (F, F) $ es imposible. Entonces tenemos un nuevo espacio muestral reducido inducido por esta condición: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Cada posibilidad restante sigue siendo igualmente probable, y la probabilidad ty de todos los eventos sumados debe ser $ 1 $. Entonces, la probabilidad de cada uno de estos tres eventos en el nuevo espacio muestral debe ser $ 1/3 $.

El único evento que termina mal para nosotros es $ (M, M) $, por lo que hay un $ 2 / 3 $ posibilidad de supervivencia.

---

Más formalmente, la definición de probabilidad condicional dice:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Entonces, si $ A $ es el evento de que al menos una mujer está presente y $ B $ es el evento de que al menos un hombre está presente, tenemos: \ begin {align} P (\ text {F dado al menos 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F y al menos 1 hombre})} {P (\ text {en al menos 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M y 1 F})} {P (\ text {1 M o 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Este es realmente el mismo procedimiento que analizamos anteriormente.

Comentarios

• Hola mb7744, gracias por la rápida respuesta. Entiendo la respuesta tal como se presenta, sin embargo, esto me parece un recuento doble, por lo que ‘ estoy luchando por aceptar la respuesta. (M, F) = (F, M), seguramente, y si no, ¿por qué?
• (M, F) y (F, M) no son el mismo evento. Si una rana se llama Alex y la otra rana se llama Taylor, Alex podría ser la hembra y Taylor el macho O viceversa. Alex y Taylor probablemente no estarían de acuerdo en que esta distinción no tiene sentido. Ahora, podría ver los dos eventos como equivalentes.Sin embargo, sus tres resultados (M, M), (F, F) y (M, F) son no igualmente probables. El emparejamiento mixto es el doble de probable. Esta es la misma razón por la que es mucho más probable que saque un 7 en un par de dados que un 2, incluso si considera que todas las diferentes formas de sacar el 7 son equivalentes.
• Hola, creo esto ayuda a aclarar dónde ‘ no ‘ obteniendo ‘ el acertijo. Si puedo volver a plantear el problema mientras ‘ lo estoy viendo, reemplace la rana con un lanzamiento de moneda (o un dado). Si pudieras lanzar dos monedas y excluir ciertas combinaciones, aceptaría completamente la respuesta. Sin embargo, en la analogía del acertijo ‘ s, leí esto porque solo tenemos un lanzamiento de moneda. El otro ya se ha realizado y no puede cambiar el resultado del otro. No saber cuál de los dos resultados ya se ha determinado no ‘ no nos permite lanzar dos monedas y elegir qué resultados incluir o excluir. Entonces, usando la analogía de la tirada de dados …..
• … puedes tirar dos dados, pero sin saberlo, un dado ‘ ya ha sido decidido. Solo tienes 1/6 de posibilidades de hacer cualquier número 7-12. ¿Me equivoco aquí?
• Si miramos todos los pares de resultados igualmente probables en el lanzamiento de dados, el orden importa . Imagine que un dado es azul y el otro rojo, y escribimos nuestros resultados con el dado azul primero y el rojo al final. Entonces el resultado (1,2) no es el mismo que el resultado (2,1). Y, como antes, la probabilidad de obtener un » 1 y un 2, independientemente del orden » será el doble que, digamos , sacando un par de 2. Para su última pregunta, supongo que quería decir que el resultado de un dado ‘ se decidió ser 6 . En ese caso, tiene razón.

Dado que las matemáticas ya están establecidas, intentaré Proporcionar algo de intuición. El problema es que saber que al menos una rana es macho es diferente a saber que cualquier rana particular es macho. El primer caso conlleva menos información y esto aumenta efectivamente nuestras posibilidades sobre la última situación .

Llame a las ranas izquierda y derecha, y suponga que nos dicen que la rana derecha es macho. Luego, hemos eliminado dos posibles eventos del espacio muestral: el evento donde ambos las ranas son hembras y el evento donde la rana izquierda es macho y la rana derecha es hembra. Ahora la probabilidad es la mitad y no importa cuál elijamos. El mismo argumento es cierto si nos enteramos de que la rana izquierda es macho.

Pero si solo nos dicen que al menos una rana es macho, que es lo que sucede cuando escuchamos el croar, entonces no podemos elimine el caso de que la rana izquierda sea macho y la rana derecha sea hembra. Solo podemos eliminar el evento de que ambas sean mujeres, lo que hace que el evento de que al menos una sea mujer sea más probable que en la configuración anterior.

Creo que la razón por la que esto es confuso es que naturalmente pensamos que aprender eso al menos uno es macho debería hacernos reacios a elegir el par de ranas. Es cierto que esta información hace que sea menos probable que al menos una sea mujer, pero reconozca también que había un total de tres cuartas partes de posibilidades de al menos una mujer antes de saber nada. Es la ambigüedad de la información que recibimos lo que hace que debamos preferir las dos ranas a la una.

Comentarios

• Gracias dsaxton, intuitivamente opté por las dos ranas, pero mi razonamiento me dijo que cualquiera de las dos opciones era igualmente probable.
• Gracias dsaxton, sospecho que ‘ s la fraseología del acertijo que me está lanzando. Como se encontró, las dos ranas no se pueden distinguir (sin más información), por lo que no veo la distinción (M, F), (F, M) como significativa en este contexto. No estoy convencido de que mi razonamiento sea defectuoso, pero mis disculpas si estoy siendo un poco lento.
• Gracias de nuevo dsaxton. Como se mencionó anteriormente, ‘ he encontrado el bloqueo mental que estaba teniendo y ahora puedo ver por qué la respuesta es la respuesta correcta (y la pregunta que en realidad estaba tratando de responder). Gracias nuevamente por su ayuda, ver la respuesta simplemente no es lo mismo que tener la ayuda para entenderlo realmente.

Su intuición es correcta en este caso. Como se indica el problema, sus probabilidades de supervivencia son del 50%. El video establece incorrectamente el espacio problemático en función de la información que tenemos y, por lo tanto, llega a una conclusión incorrecta. El espacio correcto del problema contiene 8 condiciones y es el siguiente.

Tenemos dos ranas en un tronco, y una de ellas ha croado ¿Cuáles son nuestras posibilidades?(M designa a hombre, F designa a mujer yc designa croata, la primera posición es izquierda, la segunda posición es derecha)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Cada caso es igualmente probable según información que tenemos, cuando eliminamos las condiciones dado el conocimiento de que una rana macho ha croado. Encontramos que hay 4 resultados esperados. La rana macho izquierda croó junto a una rana macho derecha que estaba en silencio. La rana macho derecha croó junto a una rana macho izquierda que estaba en silencio. O había una rana macho croando emparejada con una sola rana hembra en cualquier dirección. Para entender esto de una manera intuitiva, las dos ranas macho tienen el doble de probabilidades de croar que la rana macho soltera emparejada con una hembra, por lo que debemos ponderarla adecuadamente.

También puede dividir el espacio de búsqueda croando rana (C) y no croando rana (N). Dado que la rana crocante es 100% macho, puedes eliminarla de tu búsqueda ya que no tiene ninguna posibilidad de ayudarte a sobrevivir. Aunque el autor tenía la intención de crear un «problema de monty hall», sin darse cuenta crearon una «paradoja de niño o niña».

Las siguientes preguntas arrojan resultados diferentes:

Dado que hay un macho, ¿cuál es la probabilidad de que el otro sea hembra?

Dado que una rana macho croó ¿qué ¿Existe la probabilidad de que el otro sea mujer?

Conozco más información en el segundo caso

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Una respuesta más clara a esto, ya que la anterior fue demasiado larga y no fácil de entender.

Los posibles resultados son diferentes, aunque utilicé las mismas letras. Para aclarar el espacio muestral, describiré los posibles resultados

MM -> «El hombre está a la izquierda «-» Un hombre aleatorio a la derecha «

MF -> «El macho está a la izquierda» – «Una hembra aleatoria a la derecha»

MM – -> «El macho está a la derecha» – «Un macho aleatorio a la izquierda»

MF -> «El macho está a la derecha» – «Una hembra al azar a la izquierda»

Comentarios

• Estás contando dos veces el MM caso. Puede ‘ simplemente enumerar todos los escenarios posibles sin tener en cuenta si ‘ está llegando al mismo escenario a través de diferentes caminos.

El problema que tengo con este problema es que la solución parece estar usando diferentes reglas para lo que considera un posible resultado para las dos ranas siendo macho y hembra, y macho y macho.

El par F / M, y el par M / F, son diferentes porque no sabemos si el primero rana o la segunda rana es macho, por lo que F / M y M / F son dos posibilidades distintas, aunque el resultado sigue siendo «una rana hembra, una rana macho».

Pero la M / M El par solo se considera un resultado posible, aunque se debería aplicar la misma lógica: no sabemos qué rana es la que hizo el croar, por lo que cualquiera de las dos ranas podría ser la que escuchamos y la otra podría ser macho. , simplemente no croó.

Commen ts

• Esto es más un comentario que una respuesta al » acertijo. » Cámbielo a un comentario y elimine esta » respuesta. »
• @DJohnson En realidad, esta es una respuesta al acertijo, aunque la respuesta posterior de tomciopp lo explica con más claridad.

Sin saber nada: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Tres pares con al menos una mujer de cuatro combinaciones posibles: $ 3/4 $ o $ 75 \% $

Sabiendo que el primero es masculino: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Un par con al menos una mujer de dos combinaciones posibles: $ 1/2 $ o $ 50 \% $

Sabiendo que hay al menos un hombre: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Dos pares con al menos una mujer de tres combinaciones posibles: $ 2/3 $ o $ 67 \% $

Antes de escuchar cualquier croar, hay 4 resultados igualmente probables con 2 ranas:

La rana 1 es macho, la rana 2 es macho

La rana 1 es hembra, la rana 2 es macho

La rana 1 es macho, la rana 2 es hembra

Rana 1 es hembra, rana 2 es hembra

Haciendo las suposiciones sobre machos y hembras que ocurren por igual e independientemente, nuestro espacio muestral es {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, y tenemos una probabilidad de 1/4 para cada elemento.

Una vez que escuchamos el croar proveniente de este par, sabemos que al menos una rana es macho. Este macho puede ser igualmente probable que sea la rana 1 o la rana 2. Así que hay dos resultados igualmente probables para la rana 1:

La rana 1 es macho

La rana 1 es rana aleatoria

Suponiendo que los machos y las hembras ocurren por igual e independientemente, la rana aleatoria es igualmente probable que sea un macho aleatorio o una hembra aleatoria.

P (La rana 1 es un macho aleatorio dado que la rana 1 es Rana aleatoria) = P (la rana 1 es hembra aleatoria dado que la rana 1 es rana aleatoria) = 1/2

P (rana 1 es macho aleatorio y rana 1 es rana aleatoria) = P (rana 1 es aleatoria Rana) P (la rana 1 es macho aleatorio dado que la rana 1 es rana aleatoria) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (rana 1 es Hembra aleatoria y la rana 1 es rana aleatoria) = P (la rana 1 es rana aleatoria) P (la rana 1 es hembra aleatoria dado que la rana 1 es rana aleatoria) = (1/2) (1/2) = 1/4

Por lo tanto, hay 3 posibles resultados para la rana 1:

La rana 1 es macho

La rana 1 es macho aleatorio

La rana 1 es hembra aleatoria

y las probabilidades son:

P (la rana 1 es macho) = 1/2

P (la rana 1 es macho aleatorio ) = 1/4

P (la rana 1 es hembra aleatoria) = 1/4

Ahora, para cada resultado posible de la rana 1, hay 2 resultados posibles para la rana 2:

rana 2 es macho

La rana 2 es una rana aleatoria

Para cada resultado posible de la rana 1, es igualmente probable que la rana aleatoria sea un macho aleatorio o una hembra aleatoria.

Entonces, para cada resultado posible para la rana 1, hay 3 resultados posibles para la rana 2:

La rana 2 es macho

La rana 2 es macho aleatorio

Rana 2 es hembra aleatoria

P (Rana 2 es macho dado Rana 1 es macho) = 0

P (Rana 2 es macho dado Rana 1 es macho aleatorio) = 1

P (La rana 2 es macho dado que la rana 1 es hembra aleatoria) = 1

P (la rana 2 es macho aleatorio dado que la rana 1 es macho) = 1/2

P (La rana 2 es un macho aleatorio dado que la rana 1 es un macho aleatorio) = 0

P (la rana 2 es un macho aleatorio dado que la rana 1 es una hembra aleatoria) = 0

P (La rana 2 es hembra aleatoria dado que la rana 1 es macho) = 1/2

P (la rana 2 es hembra aleatoria dado que la rana 1 es macho aleatorio) = 0

P (rana 2 es Random Female dada Frog 1 es Random Fe macho) = 0

P (la rana 2 es macho aleatorio y la rana 1 es macho) = P (la rana 1 es macho) P (la rana 2 es macho aleatorio dado que la rana 1 es macho) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (la rana 2 es hembra aleatoria y la rana 1 es macho) = P (la rana 1 es macho) P ( La rana 2 es hembra aleatoria dado que la rana 1 es macho) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (la rana 2 es macho y la rana 1 es macho aleatorio) = P (Rana 1 es macho aleatorio) * P (Rana 2 es macho dado Rana 1 es macho aleatorio) = (1/4) * 1 = 1/4

P (Rana 2 es macho y rana 1 es hembra aleatoria) = P (rana 1 es hembra aleatoria) * P (rana 2 es macho dado Rana 1 es hembra aleatoria) = (1/4) * 1 = 1/4

Entonces, nuestro el espacio muestral es {(Hombre, Hombre al azar), (Hombre, Mujer al azar), (Hombre al azar, Hombre), (Mujer al azar, Hombre)}, y tenemos una probabilidad de 1/4 para cada elemento.

P (F dado al menos 1 M) = P (F y al menos 1 hombre) / P (al menos 1 M) = P (1 M y 1 M) / P (1 M o 2 M) = P [( Hombre, Mujer al azar), (Mujer al azar, Hombre)] / P [(Hombre, Hombre al azar), (Hombre, Mujer al azar), (Hombre al azar, Hombre), (Mujer al azar, Hombre)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Comentarios

• ¿Copiaste y pegaste mi respuesta y eliminaste el formato?
• Bueno, primero que nada, copiar y pegar una parte de otra persona ‘ La respuesta de div sin siquiera mencionarla es inaceptable. Aparte de eso, si crees que has alcanzado un resultado diferente, ¿hay alguna forma más concisa de explicarlo? Ha escrito muchas ecuaciones desconectadas sin ninguna explicación.
• No es ‘ literatura, pero sigue siendo de mala educación. Ahora, con respecto a su respuesta versus la mía: encuentro la suya sin sentido. ¿Cuál es el significado del resultado » La rana 2 es la rana aleatoria «?
• Tu respuesta fue la única calcular probabilidades condicionales. Usar los mismos términos podría ayudar a comparar y ver qué parte es la misma y cuál es diferente. Puedo decir que también encuentro otras respuestas sin sentido, pero no lo dije porque sería de mala educación;). Si no entiende algo, puede simplemente pedir aclaraciones. » La rana 2 es una rana aleatoria » significa que no es la rana macho que se sabe que está en la pareja …
• Hay dos fuentes de aleatoriedad, una que proviene de la rana macho que se sabe que está en la pareja y la otra que proviene de la población de ranas. Como sabemos que la rana macho está allí, la incertidumbre se trata solo de la posición. ¿Es la rana 1 o la rana 2? ¿O está a la izquierda oa la derecha? Mi consejo es que use el diagrama de árbol para crear un espacio de muestra desde cero y use toda la información disponible.