En términos simples: ¿cuáles son las implicaciones de las preferencias de los consumidores homotéticos y no homotéticos?

Desde un punto de vista matemático, si la función $ f (x, y) $ es homogénea (de cualquier grado), y $ g ( ) $ es una función cuya primera derivada es en todas partes distinta de cero, luego la función

$$ H (x, y) = g [f (x, y)] $$

es homotético. En economía, solemos imponer algo más restrictivo, a saber, que $ g «> 0 $. Pero esto hace que una función homotética sea una transformación monótona de una función homogénea. Ahora, las funciones homogéneas son un subconjunto estricto de funciones homotéticas: no todas las funciones homotéticas son homogéneas.

Por lo tanto, no todas las transformaciones monótonas conservan la propiedad de homogeneidad de una función de utilidad . El ejemplo más simple es la utilidad Cobb-Douglas. Es homogéneo de grado uno. En un marco de utilidad ordinal, estamos de acuerdo con las transformaciones monotónicas, por lo que podemos considerar el logaritmo natural de las mismas. Bien, pero el logaritmo natural no conservará la homogeneidad. Sin embargo, será homotético.

La propiedad fundamental de una función homotética es que su trayectoria de expansión es lineal (esta es una propiedad también de las funciones homogéneas y, afortunadamente, demuestra ser una propiedad de la clase más general de funciones homotéticas).

En la teoría del consumo, esto significa que, manteniendo los precios o la relación de precios constantes, si variamos la renta del consumidor, en el plano $ (x, y) $ el punto de tangencia de la restricción de la renta con la curva de indiferencia factible más alta siempre reflejará una razón fija $ x / y $. Esto, a su vez, implica que los gastos de cada bien crecen todos al mismo ritmo que los ingresos, por lo que la participación del gasto permanece constante para todo el rango de ingresos (siempre para una relación de precios determinada). Si bien esto puede parecer restrictivo, de hecho, se ha demostrado que las preferencias homotéticas no imponen restricciones especiales a demanda agregada (esencialmente debido a que el vector de dotación es arbitrario e independiente de las preferencias, lo que estropea o libera las cosas).

Comentarios

• Excelente respuesta. ¿Puede ampliar su última oración, donde menciona que las preferencias homotéticas no imponen ninguna restricción especial a la EA? Con poco conocimiento sobre el tema, me parece que asumir preferencias homotéticas va en contra de la evidencia empírica de la Ley de Engel ' s o que la elasticidad ingreso de la demanda varía entre bienes. Al ignorar esta evidencia, ¿no ' estaremos afectando cualquier construcción razonable de AD?
• @StatsScared Gracias. Ha publicado una pregunta sobre el asunto, economics.stackexchange.com/q/10629/61 , que ya ha generado respuestas interesantes. Si tengo algo que agregar, lo publicaré allí.