Encuentre h [n] usando propiedades DTFT

Mientras esto es por su tarea de admisión (y bastante básica), lo haré. Recuerde la definición de la DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

Y recuerde la definición de la respuesta de frecuencia $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

donde $ x [n ] $ es la entrada al sistema y $ y [n] $ es su salida. Combine estas dos ecuaciones:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Ahora, realice la DTFT inversa en ambos lados de la ecuación. Por definición, $ X (\ omega) $ y $ x [n] $ son un par de transformación; lo mismo ocurre con $ Y (\ omega) $ y $ y [n] $. Para los otros dos términos, recuerde la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

que se puede mostrar fácilmente a partir de la definición de la DFT. Con esta propiedad, la ecuación inversa se transforma en la especificación de la ecuación en diferencia del sistema:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Esta es la definición de un filtro recursivo, que son normalmente IIR; ese es el caso de éste. Encontrar la respuesta al impulso es fácil; deje $ x [n] = \ delta [n] $ y encuentre que la salida del sistema es:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Lo anterior está trazado para $ a = 0.99 $. Cabe señalar que el sistema solo es estable para $ | a | \ le1 $.

Comentarios

• I ' he intentado calcular la respuesta de impulso pero me he enredado. ¿Podría mostrarnos cómo ' se hace? gracias.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Dado que la respuesta al impulso se extiende a $ \ infty $, este es un filtro IIR. JasonR afirma en su respuesta que el filtro es estable solo si $ | a | < 1 $. De hecho, el filtro es estable cuando $ | a | \ leq 1 $, y es inestable solo para $ | a | > 1 $. Sin embargo, cuando $ | a | = 1 $, de la fórmula de la serie geométrica $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, obtenemos que $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ es la función de transferencia de un filtro FIR (estable) que puede describirse como un integrador a corto plazo o promediador a corto plazo (con ganancia de $ 4 $).

Comentarios

• Buena derivación alternativa. También arreglé mi reclamo de estabilidad en mi respuesta.