Sé que por el Principio de Incertidumbre de Heisenberg no es posible conocer los valores exactos de posición y momento de una partícula simultáneamente, pero ¿podemos saber los valores exactos del momento y la velocidad de una partícula simultáneamente? Creo que la respuesta sería no porque incluso si estuviéramos 100% seguros de la posición de la partícula, estaríamos completamente inseguros del momento de la partícula, lo que nos haría también completamente inseguro de la velocidad de la partícula. ¿Alguien tiene alguna idea de esto?
Respuesta
Es bastante común discutir los dos extremos del principio de incertidumbre, sinusoide y función delta. Una tiene una longitud de onda perfectamente definida pero no una posición, la otra tiene una posición perfectamente definida pero no una longitud de onda.
Sin embargo, ninguna de estas formas es terriblemente física para la función de onda de posición de una partícula. Una verdadera función de onda sinusoidal se extendería a través de todo el espacio, lo cual es absurdo por varias razones (incluida la presencia de otra materia). Una función delta verdadera tendría la misma probabilidad de tener cualquier momento, lo que probablemente violaría la conservación de energía. Entonces, estos dos límites extremos son matemáticamente interesante, pero no físicamente relevante.
Dada la pregunta «¿El principio de incertidumbre establece algún límite en el momento y la velocidad al estar bien definidos simultáneamente?», la respuesta es no.
Dado la pregunta «¿El principio de incertidumbre me prohíbe medir una sola variable con precisión infinita?», la respuesta es no.
Dada la pregunta «¿ algo prohíbeme medir con precisión infinita? «, la respuesta es sí .
Entonces, su pregunta menciona» valores exactos «, lo cual es un tema muy interesante y espinoso sujeto. (¿Alguna vez es posible medir un valor exacto? ¿Cómo diferenciaríamos?) ¿Tiene mucha curiosidad acerca de los «valores exactos»? ¿Tiene más curiosidad sobre dónde se aplica y dónde no se aplica el principio de incertidumbre de Heisenberg? ¿O tienes curiosidad por saber si existen otros límites en nuestra capacidad de medir, además del principio de incertidumbre?
Comentarios
- Solo preguntaba porque fue preguntado en una prueba y tenía curiosidad por saber la respuesta después de tomar la prueba. Sé que el principio de incertidumbre se ocupa de la energía y el tiempo, y luego también se ocupa de la posición y el impulso. Entonces pensé que si hipotéticamente medíamos la posición con certeza exacta, entonces estaríamos completamente inseguros sobre su posición, por lo tanto completamente inseguros acerca de su velocidad. Todo lo que quería saber era si la incertidumbre sobre la posición asegura la incertidumbre sobre la velocidad
- Si ignoramos los efectos relativistas, entonces la velocidad y el momento son directamente proporcionales entre sí con la partícula ‘ s masa en reposo como la constante de proporcionalidad, por lo que si conoce uno exactamente, obtiene el otro gratis.
Respuesta
Si en su teoría el operador de momento y el operador de velocidad son proporcionales entre sí, entonces sí. Conocer el valor propio de uno significa conocer el del otro. Siempre es el caso con cualquier función de un operador «conocido».
Comentarios
- I ‘ Estoy en Física básica 3 en Georgia Tech y lo tomo como una electiva, así que ‘ no he llegado tan lejos. Sin embargo, ‘ me aseguraré de investigar eso
Respuesta
Los valores propios de velocidad de la ecuación de Dirac son $ \ pm c $. Esto es bien conocido desde que se encontró la ecuación; véase el libro de Dirac, «The Principles of Quantum Mechanics, 4th Ed.», Oxford University Press, Oxford 1958, Capítulo XI «Teoría relativista del electrón», Sección 69, «El movimiento de un electrón libre», página 262 . Solía ser un hecho comúnmente enseñado de la mecánica cuántica, pero entiendo los votos negativos, ahora es posible obtener un doctorado en física sin saber lo más mínimo sobre el siguiente cálculo bastante elemental. En parte debido a que esto ya no se enseña mucho, la derivación ha reaparecido recientemente en la literatura, por ejemplo, ver: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiral oscilaciones en términos del efecto zitterbewegung / hep-th / 0701091 , alrededor de la ecuación (11).
Comenzamos señalando que la velocidad es la tasa de cambio de posición en el tiempo, y que puede definir la tasa de cambio de posición en el tiempo utilizando el conmutador:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Si lo anterior le parece mágico, lea la entrada de wikipedia en Teorema de Ehrenfest que establece el principio y da la misma situación para la mecánica cuántica no relativista: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ y así $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (para el caso no relativista) . Así, para el modelo de electrones no relativista, es posible medir simultáneamente la velocidad y el momento; su constante de proporcionalidad es la masa. Pero con la relatividad la proporcionalidad no ocurre entonces la situación es diferente.
Para que un estado sea un estado propio de velocidad se requiere que:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac definió el hamiltoniano de partículas libres como $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. En notación moderna, $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ y $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, mientras que $ p $ es el operador de impulso habitual.
Tenga en cuenta que el Lo único que no conmuta con $ \ hat {x} $ es el componente x del operador de impulso, que da $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. arriba se reduce a:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Usando la elección de la wikipedia de representación de matriz gamma, tenemos: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Los valores propios son obtenido al resolver el polinomio característico . Es decir, calcule el determinante de la matriz y configúrelo en cero: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Lo dejo como ejercicio para que el lector demuestre que hay dos raíces reales, $ \ pm c $ cada uno con orden dos.
Las cuatro soluciones al problema del valor propio de la velocidad para la ecuación de Dirac corresponden al electrón y el positrón derecho e izquierdo. Es decir, los estados propios de la velocidad de la ecuación de Dirac son precisamente los estados izquierdo y derecho que se utilizan para representar fermiones en el modelo estándar .
Comentarios
- Hay dos problemas separados que pueden estar causando votos negativos (todavía no he ‘ t votos negativos, por favor corríjalos). Primero, el Hamiltoniano de Dirac está en una imagen desacreditada de una sola partícula de la ecuación de Dirac, donde x es un operador que describe la posición del electrón. En la imagen adecuada de la teoría de campos, los estados cercanos a Fock tienen un momento que es py una velocidad que es p / E en un paquete de ondas, y las dos cantidades pueden tener valores simultáneos (más o menos, porque las partículas no son locales). El otro problema es que la ecuación que da para los valores propios de velocidad tiene cuatro soluciones, (c, -c, ic, -ic).
- En cuanto al problema con el campo Según la teoría versus QM, los estados propios de velocidad del electrón están relacionados con zitterbewegung (zbw), que ha tenido un resurgimiento recientemente debido a la investigación en física del estado sólido.Así que ‘ no estoy seguro de que esté ‘ desacreditado, por ejemplo, vea la discusión de zbw y los estados propios de velocidad en Eur. Phys. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- De acuerdo, yo ‘ m arreglando el cálculo del valor propio; Soplé el determinante.
- No ‘ no creo que ‘ esté completamente desacreditado, solo necesita una discusión — el zbw es una propiedad de los estados de positrones que se mezclan con estados de electrones en la imagen de una sola partícula, es el electrón que va y viene en el tiempo en la descripción de Feynman. Es ‘ es físico, pero solo en la forma Feynman de dinámica de partículas, no tanto en la forma de teoría de campo. Estoy seguro de que esta es la razón por la que mucha gente automáticamente rechaza las discusiones de una sola partícula de Dirac eqn. No ‘ no creo que sea una tontería, contiene mucha física, pero requiere una discusión cuidadosa.
Respuesta
El argumento de que el principio de incertidumbre de Heisenberg prohíbe que podamos conocer los valores exactos del momento y la velocidad de una partícula simultáneamente ya está desacreditado en el antiguo libro de texto de Feynman sobre Quantum. Electrodinámica.
Se pueden determinar dos observables simultáneamente si los operadores se desplazan. Para la velocidad y el momento, los operadores conmutan $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; lo hacen incluso en la teoría de la función de onda de Dirac con sus efectos Zitterbewegung.