Digamos que de alguna manera $ 100 (1- \ alpha) \% $ intervalo de confianza de la población media $ \ mu $ se conoce como $ (a, b) $ y la cantidad de muestras es $ n $ . ¿Es posible inferir estimaciones puntuales de la media poblacional y la varianza poblacional a partir de esta información? En este caso, el supuesto es que la población sigue una distribución normal.
Una idea es que debido a que el intervalo de confianza de la media de la población se puede calcular si conocemos la media de la muestra $ \ overline {x} $ y la varianza de la población $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , puede establecer $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ y resuelve para $ \ overline {x} $ y $ \ sigma $ . Ciertamente, en este caso, $ \ overline {x} $ puede tratarse como una estimación puntual de la media de la población. Sin embargo, ¿qué pasa con $ \ sigma ^ {2} $ ? ¿Es esta varianza de la población «verdadera» o es solo una «estimación puntual» de la varianza de la población? Estoy realmente confundido acerca de cómo se debe interpretar $ \ sigma ^ {2} $ en este caso.
Respuesta
Puede derivar el $ \ bar {x} $ y $ \ sigma ^ 2 $ que generó ese intervalo de confianza, sí. Sin embargo, conocer el tamaño de la muestra y el nivel de $ \ alpha $ es fundamental y no puede resolver el problema sin esa información.
El z- El intervalo de confianza basado implica una varianza conocida que se usa para calcular el intervalo de confianza, por lo que cuando usa el ancho para resolver la varianza, está resolviendo la varianza verdadera $ \ sigma ^ 2 $ , no una estimación $ s ^ 2 $ . Si el intervalo de confianza está basado en t, entonces estaría resolviendo para $ s ^ 2 $ .
El ancho de una confianza basada en z El intervalo no depende de los datos, ya que conoce la varianza de la población. Cuando conoce un parámetro, no se molesta en estimarlo.
Comentarios
- Si lo entendí bien, la respuesta dependería de si el intervalo de confianza se obtuvo mediante el método basado en z o el método basado en t. Gracias por su respuesta.
- Eso explica por qué usamos intervalos basados en z e intervalos de confianza basados en t. Si conocemos la varianza de la población, no ' t nos molestamos con los intervalos de confianza basados en t, y el intervalo basado en z tiene su ancho determinado por $ \ sigma ^ 2 / 2 $. Cuando no ' no conocemos la varianza de la población (casi siempre), estimamos la varianza de la población en $ s ^ 2 $ y usamos intervalos de confianza basados en t para dar cuenta de la incertidumbre que rodea a la estimación (es decir, teniendo en cuenta el hecho de que nuestra estimación podría ser una mala estimación).