Estadísticas: Relación entre Alfa y Beta

$ \ alpha $ y $ \ beta $ están relacionados. Intentaré ilustrar el punto con una prueba de diagnóstico. Supongamos que tiene una prueba de diagnóstico que mide el nivel de un marcador sanguíneo. Se sabe que las personas que padecen una determinada enfermedad tienen niveles más bajos de este marcador en comparación con las personas sanas. De inmediato queda claro que debe decidir un límite valor, por debajo del cual una persona se clasifica como «enferma», mientras que las personas con valores por encima de este límite se consideran saludables. Sin embargo, es muy probable que la distribución del marcador de sangre varíe considerablemente incluso dentro enfermos y personas sanas. Algunas personas sanas pueden tener niveles muy bajos de marcadores sanguíneos, aunque están perfectamente sanos. Y algunas personas enfermas tienen niveles altos del marcador sanguíneo a pesar de tener la enfermedad.

Hay cuatro Posibilidades que pueden ocurrir:

1. una persona enferma es correctamente identificada como enferma (verdadero positivo = TP)
2. una persona enferma es falsamente clasificada como sana (falso negativo = FN)
3. una persona sana se identifica correctamente como sana (verdadero negativo = TN)
4. una persona sana se clasifica falsamente como enferma (falso positivo = FP)

Estas posibilidades se pueden ilustrar con una tabla 2×2 :

 Sick Healthy Test positive TP FP Test negative FN TN 

$ \ alpha $ denota la tasa de falsos positivos, que es $ \ alpha = FP / (FP + TN) $. $ \ beta $ es la tasa de falsos negativos, que es $ \ beta = FN / (TP + FN) $. Escribí un simple script R para ilustrar la situación gráficamente.

alphabeta <- function(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=130, sd.healthy=10, cutoff=120, n=10000, side="below", do.plot=TRUE) { popsick <- rnorm(n, mean=mean.sick, sd=sd.sick) pophealthy <- rnorm(n, mean=mean.healthy, sd=sd.healthy) if ( side == "below" ) { truepos <- length(popsick[popsick <= cutoff]) falsepos <- length(pophealthy[pophealthy <= cutoff]) trueneg <- length(pophealthy[pophealthy > cutoff]) falseneg <- length(popsick[popsick > cutoff]) } else if ( side == "above" ) { truepos <- length(popsick[popsick >= cutoff]) falsepos <- length(pophealthy[pophealthy >= cutoff]) trueneg <- length(pophealthy[pophealthy < cutoff]) falseneg <- length(popsick[popsick < cutoff]) } twotable <- matrix(c(truepos, falsepos, falseneg, trueneg), 2, 2, byrow=T) rownames(twotable) <- c("Test positive", "Test negative") colnames(twotable) <- c("Sick", "Healthy") spec <- twotable[2,2]/(twotable[2,2] + twotable[1,2]) alpha <- 1 - spec sens <- pow <- twotable[1,1]/(twotable[1,1] + twotable[2,1]) beta <- 1 - sens pos.pred <- twotable[1,1]/(twotable[1,1] + twotable[1,2]) neg.pred <- twotable[2,2]/(twotable[2,2] + twotable[2,1]) if ( do.plot == TRUE ) { dsick <- density(popsick) dhealthy <- density(pophealthy) par(mar=c(5.5, 4, 0.5, 0.5)) plot(range(c(dsick$x, dhealthy$x)), range(c(c(dsick$y, dhealthy$y))), type = "n", xlab="", ylab="", axes=FALSE) box() axis(1, at=mean(pophealthy), lab=substitute(mu[H[0]]~paste("=",m, sep=""), list(m=mean.healthy)), cex.axis=1.5,tck=0.02) axis(1, at=mean(popsick), lab=substitute(mu[H[1]]~paste("=",m, sep=""), list(m=mean.sick)), cex.axis=1.5, tck=0.02) axis(1, at=cutoff, lab=substitute(italic(paste("Cutoff=",coff, sep="")), list(coff=cutoff)), pos=-0.004, tick=FALSE, cex.axis=1.25) lines(dhealthy, col = "steelblue", lwd=2) if ( side == "below" ) { polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x<=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x<=cutoff],0), col = "grey65") } else if ( side == "above" ) { polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x>=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x>=cutoff],0), col = "grey65") } lines(dsick, col = "red", lwd=2) if ( side == "below" ) { polygon(c(cutoff,dsick$x[dsick$x>cutoff],cutoff),c(0,dsick$y[dsick$x>cutoff],0) , col="grey90") } else if ( side == "above" ) { polygon(c(cutoff,dsick$x[dsick$x<=cutoff],cutoff),c(0,dsick$y[dsick$x<=cutoff],0) , col="grey90") } legend("topleft", legend=(c(as.expression(substitute(alpha~paste("=", a), list(a=round(alpha,3)))), as.expression(substitute(beta~paste("=", b), list(b=round(beta,3)))))), fill=c("grey65", "grey90"), cex=1.2, bty="n") abline(v=mean(popsick), lty=3) abline(v=mean(pophealthy), lty=3) abline(v=cutoff, lty=1, lwd=1.5) abline(h=0) } #list(specificity=spec, sensitivity=sens, alpha=alpha, beta=beta, power=pow, positiv.predictive=pos.pred, negative.predictive=neg.pred) c(alpha, beta) } 

Veamos un ejemplo. Suponemos que el nivel medio del marcador sanguíneo entre las personas enfermas es 100 con una desviación estándar de 10. Entre las personas sanas, el nivel en sangre medio es 140 con una desviación estándar de 15. El médico establece el límite en 120.

alphabeta(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, cutoff=120, n=100000, do.plot=TRUE, side="below") Sick Healthy Test positive 9764 901 Test negative 236 9099 

Verá que el sombreado áreas están en una relación entre sí. En este caso, $ \ alpha = 901 / (901+ 9099) \ approx 0.09 $ y $ \ beta = 236 / (236 + 9764) \ approx 0.024 $. Pero, ¿qué sucede si el ¿El médico había establecido el límite de manera diferente? Fijémoslo un poco más bajo, en 105 y veamos qué sucede.

 Sick Healthy Test positive 6909 90 Test negative 3091 9910 

Nuestro $ \ alpha $ es muy bajo ahora porque casi ninguna gente sana es diagnosticada como enferma. Pero nuestro $ \ beta $ ha aumentado, porque las personas enfermas con un nivel alto de marcadores en sangre ahora se clasifican falsamente como saludables.

Finalmente, veamos cómo cambian $ \ alpha $ y $ \ beta $ por diferentes cutoffs:

cutoffs <- seq(0, 200, by=0.1) cutoff.grid <- expand.grid(cutoffs) plot.frame <- apply(cutoff.grid, MARGIN=1, FUN=alphabeta, mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, n=100000, do.plot=FALSE, side="below") plot(plot.frame[1,]~cutoffs, type="l", las=1, xlab="Cutoff value", ylab="Alpha/Beta", lwd=2, cex.axis=1.5, cex.lab=1.2) lines(plot.frame[2,]~cutoffs, col="steelblue", lty=2, lwd=2) legend("topleft", legend=c(expression(alpha), expression(beta)), lwd=c(2,2),lty=c(1,2), col=c("black", "steelblue"), bty="n", cex=1.2) 

Usted Puede ver inmediatamente que la proporción de $ \ alpha $ y $ \ beta $ no es constante. Lo que también es muy importante es el tamaño del efecto. En este caso, esta sería la diferencia de las medias de los niveles de marcadores sanguíneos entre personas enfermas y sanas. Cuanto mayor sea la diferencia, más fácil será separar los dos grupos con un límite:

Aquí tenemos un » prueba perfecta «en el sentido de que el límite de 150 discrimina a los enfermos de los sanos.

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Bonferroni adjustements

Los ajustes de Bonferroni reducen el error $ \ alpha $ pero inflan el error de tipo II ($ \ beta $) .Esto significa que se incrementa el error de tomar una decisión falsa negativa mientras que se minimizan los falsos positivos. Es por eso que el ajuste de Bonferroni a menudo se denomina conservador. En los gráficos anteriores, observe cómo el $ \ beta $ aumentó cuando bajamos el límite de 120 a 105: aumentó de $ 0.02 $ a $ 0.31 $. Al mismo tiempo, $ \ alpha $ disminuyó de $ 0.09 $ a $ 0.01 $.

Comentarios

• @COOLSerdash ¡Vaya buena respuesta! Gracias. En su ejemplo, la elección del El nivel significativo se puede hacer en distribuciones conocidas. En biología, por ejemplo, no puede conocer la distribución de su variable dependiente si el tratamiento tiene un efecto. En otras palabras, al elegir un nivel de significancia, elige la Tasa de falsos positivos pero casi no tiene idea cómo se establece la tasa de falsos negativos. Ya que en realidad no tiene idea de cómo se establecen las tasas de verdadero positivo y negativo. ¿Es correcto?
• @ Remi.b Gracias. Creo que tiene razón. Por lo general, simplemente elija $ \ alpha $ como nivel de significancia o haga un cálculo de potencia antes (haciendo suposiciones sobre el tamaño del efecto, $ \ alpha $ a nd poder ($ 1- \ beta $). Pero ‘ tiene razón: puede controlar $ \ alpha $ eligiéndolo, pero $ \ beta $ a menudo se desconoce. Este documento es un muy buen punto de partida sobre los valores de $ p $ y lo que realmente significan los niveles $ \ alpha $.

Para otros en el futuro:

En la estimación del tamaño de la muestra, el Ztotal se calcula sumando el Z correspondiente a alfa y Z correspondiente a potencia (1-beta). Entonces, matemáticamente, si el tamaño de la muestra se mantiene constante, aumentar Z para alfa significa que disminuye Z para potencia en la MISMA cantidad, por ejemplo, aumentar Zalpha de 0.05 a 0.1 disminuye Zpower en 0.05.

La diferencia es la Z para alfa es de dos colas, mientras que la Z para beta es de 1 cola. Entonces, mientras que el valor Z cambia en la misma cantidad, pero el% de probabilidad al que este valor Z corresponde no cambia en la misma cantidad.

Ejemplo:

5% alfa ( 95% de confianza) con 80% de potencia (20% beta) da el mismo tamaño de muestra que

20% alfa (80% de confianza) con 93,6% de potencia (6,4% beta) en lugar del 95% de potencia que tendría si la relación fuera 1: 1.

No existe una relación general entre alfa y beta.

Todo depende de su prueba, tome el ejemplo simple:

(Wikipedia)

En el uso coloquial, el error de tipo I puede considerarse como «condenar a una persona inocente» y el error de tipo II «dejar en libertad a una persona culpable».

Un jurado puede ser severo: sin error de tipo II, algún jurado de tipo IA puede ser «amable»: no de tipo I pero sí de tipo II A puede ser normal: algunos de tipo I y otros de tipo II Un jurado puede ser perfecto: sin error

En la práctica hay dos efectos antagonistas:

Cuando la calidad de la prueba aumenta, t Los errores de tipo I y tipo II disminuyen hasta cierto punto. Cuando un jurado mejora, tiende a juzgar mejor tanto a las personas inocentes como a las culpables.

Después de algún momento, el problema subyacente aparece en la construcción de la prueba. Los tipos I o II son más importantes para quien realiza la prueba. Con el ejemplo del jurado, los errores de tipo I son más importantes y, por lo tanto, el proceso legal se construye para evitar el tipo I. Si hay alguna duda, la persona está libre. Intuitivamente, esto conduce a un aumento del error de tipo II.

Concerniente a Bonferroni:

(Wikipedia de nuevo)

La corrección de Bonferroni controla la probabilidad de falsos positivos únicamente. La corrección normalmente tiene el costo de aumentar la probabilidad de producir falsos negativos y, en consecuencia, reducir el poder estadístico. Al probar una gran cantidad de hipótesis, esto puede resultar en valores críticos grandes.

Comentarios

• Gracias por su respuesta, es útil pero aún algo no me queda claro. Actualicé mi publicación agregando una nueva pregunta.