El teorema de Feynman-Kac establece que para un Ito-proceso de la forma $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ hay una función medible $ g $ tal que $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ con una condición de límite apropiada $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. También sabemos que $ g (t, x) $ tiene la forma $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Esto significa que puedo fijar el precio de una opción con función de pago $ h (x) $ en $ T $ resolviendo la ecuación diferencial sin tener en cuenta el proceso estocástico.
¿Existe una explicación intuitiva de cómo es posible modelar el comportamiento estocástico del Ito-proceso mediante una ecuación diferencial, aunque la ecuación diferencial no tenga un componente estocástico?
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- Dentro de la expectativa, no debería ‘ t poner $ h (X_T) $ en lugar de $ h (X_t) $ ?
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Martingalas + Markovian
Aquí está la motivación. Las expectativas condicionales son martingalas por la propiedad de la torre de las expectativas condicionales (un ejercicio fácil de mostrar). Suponga que $ r = 0 $, según el teorema de precios neutrales al riesgo $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ es el precio de cualquier derivado valor con $ X $ como activo subyacente y función de pago $ h $ asumiendo por el momento que el valor subyacente y el derivado en sí no pagan flujos de efectivo intermedios. En un entorno markoviano, debe darse el caso de que el precio del derivado sea una función medible del precio actual del activo y del tiempo hasta el vencimiento únicamente, digamos una función $ g (t, x) $. Luego, según el lema de Ito $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Como $ g $ es una martingala (desplazada), el término de deriva debe ser igual a cero . La condición de límite proviene de no arbitraje, vea esto observando qué es $ g (T, x) $ de la definición dada al principio (recuerde la mensurabilidad cuando se toma la expectativa condicional).
Comentarios
- Gracias. ¿Qué es $ \ mathscr {F} _t $?
- Es un álgebra sigma de una filtración. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – complementa bastante bien mi respuesta +1
- @Raphael – solo piensa en $ \ mathscr F_t $ como la información disponible hasta el momento $ t $. La barra vertical dice » dado » para que cuando escribas esa expectativa cualquier cosa antes de ese momento, ‘ no estás tomando ninguna expectativa y puede salir de la misma forma que lo haría una constante. Como $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. Hay una explicación relativamente buena de la expectativa condicional en este libro.
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El teorema de Feynman-Kac tiene sentido principalmente en un contexto de precios. Si sabe que alguna función resuelve la ecuación de Feynman-Kac, puede representar su solución como una Expectativa con respecto al proceso. ( confiera este documento )
Por otro lado, una función de precios resuelve el FK-PDE. Por lo tanto, a menudo uno intentaría resolver el PDE para obtener una fórmula de precios de forma cerrada. ( confiera esto documento que comienza en la página 22 )
No usaría Feynman-Kac para simular un proceso estocástico. Por otro lado, puede utilizar un proceso estocástico para encontrar una solución al FK-PDE ( ver aquí )
Editar 26.02.2014: Encontré un documento que intenta explicar la conexión entre la densidad de transición y el FK-PD ( ver aquí a partir de la página 5 )
También existe una conexión entre la FK-Formula y las ecuaciones de Sturm-Liouville que se pueden utilizar para la descomposición de caminos brownianos. ( ver este documento )
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- ¡Gracias por los enlaces! Su publicación explica varias aplicaciones y usos del teorema de Feynman-Kac. Mi principal interés en este punto es entender por qué el teorema es verdadero, es decir, la intuición detrás del teorema.
- Sugeriría la demostración aquí: en. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula La lectura de pruebas a menudo ayuda a comprender cómo surge un teorema. ¿O está interesado en una explicación desde el punto de vista físico?
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La forma en que pienso es que el PDE describe el flujo de una distribución de probabilidad dependiente del tiempo. El proceso estocástico describe las realizaciones individuales (caminatas aleatorias con una deriva), pero si ejecutas una gran cantidad de ellas, construirías una distribución.
El PDE dice cómo esa distribución cambia en el tiempo (primer término) debido a la deriva determinista (el segundo término) y la difusión (el tercer término, que es el vínculo entre «muchos caminantes aleatorios» y la propagación distribución de probabilidad que describe qué tan lejos «han llegado, en promedio). Por lo general, la distribución de probabilidad comienza como una función delta debido a la condición inicial conocida.
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- Estoy un poco confundido. Tenemos el PDE de la función de precios $ g (t, x) $ aparte de la deriva y la volatilidad, no hay mucha información que pueda extraer del FK-PDE con respecto a la distribución
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Abordemos esta respuesta en dos pasos.
Primero, Me parece bastante intuitivo que para una PDE estocástica determinada existe una PDE determinista que evoluciona la densidad a un tiempo posterior. Esta ecuación es la ecuación directa de Kolmogorov o Fokker-Plank. ¿Por qué es intuitivo? También se conoce la distribución futura de un movimiento browniano (por definición), ¿por qué debería cambiar esto por un término estocástico más complejo?
En segundo lugar, una vez que se obtiene la ecuación hacia adelante, es una cuestión de matemáticas derivar una versión invertida en el tiempo. Esta es la ecuación de Feynman-Kac, y propaga una distribución hacia atrás en el tiempo.