Entonces en $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ tenemos el producto interno de Frobenius dado por $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
que puede interpretarse como el producto interno euclidiano en $ {\ bf R} ^ {np PS Tengo entendido que todos los productos internos en $ {\ bf R} ^ {np} $ se pueden escribir como $$ a ^ TPb $$ para $ P $ positivo-definido. Lo mejor que pude hacer al intentar extender el producto interno de Frobenius en $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ es algo de la forma $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ por $ X_i \ in {\ bf R} ^ {m_i \ times n} $ y $ Y_i \ in {\ bf R} ^ {p \ times q_i} $ todo rango completo. Sin embargo, me gustaría saber si esto cubre todos los productos internos en $ {\ bf R} ^ {np} $, o si tal vez es más complejo de lo necesario debido a redundancias.
Puedo encontrar el correspondiente matriz $ P $ para cualquier producto interno de matriz específico tomando la base estándar para $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ y formando la matriz
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ dots & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
pero no sé si la forma general de un producto interno de matriz que di arriba cubre todas las matrices definidas positivas $ P $.
Actualización:
versión más reciente de esta pregunta en MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
Comentarios
- ¡Bienvenido a SciComp.SE! Esta es una pregunta interesante, pero parece mucho más apropiada para math.stackexchange.com . (A menos que haya ‘ una conexión con un problema de ciencia computacional que ‘ falte, en cuyo caso ‘ sería genial si pudieras agregar eso.)
- @ChristianClason, ‘ s relacionado con la optimización en matrices de variedades con métricas riemannianas, ya que riemannian las métricas son productos internos en el espacio tangente. Es casi seguro que ‘ sea demasiado avanzado para Math.SE, el único otro lugar apropiado sería MathOverflow. De hecho, es posible que haya encontrado lo que creo que es una solución que puedo publicar como respuesta una vez que haga el complicado trabajo de demostrar que es una solución, pero si ‘ desea migrar esto a MathOverflow I ‘ Estoy de acuerdo con eso. ‘ agregaré el contexto de optimización cuando tenga la oportunidad.
- La matriz $ P $ también tiene que ser simétrica, no solo positiva definida.
- @WolfgangBangerth, se entiende que definido positivo implica simétrico.
- No para todos los autores, definición positiva implica simetría.
Respuesta
Puedes ver un producto interno como una operación $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, es decir, es una función bilineal que (i) devuelve un número no negativo, (ii) satisface la relación $ f (a, b) = f (b, a) $.
Para los vectores $ a, b \ in \ mathbb R ^ n $, todas las funciones bilineales que satisfacen estas propiedades se pueden escribir como $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ donde $ P $ es simétrico y definido positivo. Para matrices $ a, b \ in \ mathbb R ^ {n \ times p} $, todas estas funciones se pueden escribir como $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ donde ahora $ P $ es un tensor de rango 4 que es simétrico en el sentido de que $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ y definido positivo en el sentido de que $ f (a, a) > 0 $ para todo $ a \ neq 0 $.
Tu pregunta se reduce a si cada $ P $ que satisface tales condiciones puede escribirse de una forma que resulte de los vectores $ X_i, Y_i $. Creo que la respuesta a esto es no. Esto es así simplemente porque (por simplicidad asumiendo $ n = p $) simétrico $ P $ tiene (asintóticamente) $ n ^ 4/2 $ grados de libertad, mientras que los $ n $ vectores $ X_i, Y_i $ solo tienen $ 2n ^ 2 $ grados de libertad. En otras palabras, no creo que para $ n $ suficientemente grandes, su enfoque tenga suficientes grados de libertad.
Comentarios
- I creo que la respuesta es sí, ‘ voy a volver a publicar esta pregunta sobre el desbordamiento matemático con mis resultados actualizados.
- Sí, su argumento de que el número de parámetros crece cuadráticamente en el espacio del producto interno del vector, mientras que sólo cuadráticamente en el espacio del producto interno de la matriz es convincente, sin embargo, dado que el espacio es finalmente finito, deberíamos poder superar esto aumentando $ N $ de manera apropiada.
- Mis disculpas, publiqué una versión más reciente de esta pregunta en MathOverflow, sin embargo, ‘ está suficientemente actualizada. Pensé que era apropiado, aquí está el enlace en caso de que lo desee. para transferir su respuesta allí o actualizar su respuesta según la versión más reciente. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Tenga en cuenta que @ ChristianClason recomendó que publique su pregunta en math.stackexchange.com, no en mathoverflow.net. Esos son dos sitios diferentes con diferentes propósitos y audiencias.
- @FedericoPoloni sí, lo sé, y si lees lo que escribí, le dije que pensaba que era demasiado avanzado para Math.SE y que sería poco probable que lo entendiera. una respuesta allí.