¿Cuál es la forma más general de la ecuación de onda? ¿Es $ \ frac {\ parcial ^ 2 \ Psi} {\ parcial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Por ejemplo, can $ \ frac {\ parcial ^ 2 \ Psi} {\ parcial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ ¿ser una ecuación de onda? Si es así, ¿cuál es la solución en ese caso?
Respuesta
No estoy seguro de lo que quieres decir con $ cte $ , pero supongo que es una constante, pero puedo estar malinterpretando
A menudo hablamos de dos clases de ecuaciones diferenciales, homogéneas y no homogéneas. Esta distinción es la raíz de tu pregunta, \ begin {ecuación } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {ecuación} es la forma homogénea de la ecuación de onda, mientras que \ begin {ecuación} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {ecuación} es la ecuación de onda no homogénea ($ u (\ vec {r}, t) $ también puede ser constante si queremos). Esto surge Un ejemplo es que la radiación electromagnética en presencia de cargas y corrientes se rige por la ecuación de onda no homogénea, la forma homogénea solo es válida cuando $ \ rho = 0 $ y $ \ vec {J} = 0 $. Dependiendo de a quién le preguntes, creo que la mayoría de la gente todavía diría el inhom La ecuación de onda generosa es una ecuación de onda, pero eso está a su gusto ya que sus soluciones pueden terminar teniendo un carácter muy diferente a las homogéneas.
En general no hay mucho que pueda decir sobre estas soluciones ya que dependerán en gran medida de la forma de $ u $, aunque estoy seguro de que buscar en Google te dará muchos ejemplos.
Comentarios
- Perfecto. ¿Y qué pasa con la ecuación de onda amortiguada? ¿Cuál es su forma?
Respuesta
Mason manejó la distinción entre ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas, pero si uno está hablando de la forma más general posible de la ecuación de onda, es,
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
donde ambos campos son tensores de rango $ (m, n) $, sobre los que actúa el operador de Laplace-Beltrami $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ cuya acción sobre los tensores depende tanto de la métrica como de su rango. Para un campo escalar con métrica $ \ eta _ {\ mu \ nu} $, se reduce a la forma más familiar de la ecuación de onda, $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Lo anterior también puede reformularse en el lenguaje de las formas diferenciales).
Sin embargo, de alguna manera esto no cubre todas las posibilidades. Por ejemplo, en relatividad general, para una perturbación $ h_ {ab} $ de la métrica, el cambio de primer orden en la curvatura es,
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ cuadrado h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
que se entiende como el «operador de onda» del espacio curvo en la literatura porque ciertamente admite soluciones de onda, pero claramente no es equivalente a la ecuación de onda anterior, ya que contiene otros términos que implican tensores de curvatura. Por lo tanto, la «forma más general» de la ecuación de onda no es algo que realmente podamos escribir, a menos que su idea sea estrictamente $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
