El principio de Hamilton establece que un sistema dinámico siempre sigue un camino tal que su acción integral es estacionaria (es decir, máxima o mínima).
¿Por qué la integral de acción debe ser estacionaria? ¿Sobre qué base estableció Hamilton este principio?
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- Debe tenerse en cuenta que este es el » Hamilton ‘ s principio «, es decir, no es exactamente lo mismo que la » mecánica [clásica] hamiltoniana » (es decir, donde un hamiltoniano real está involucrado) y eso no es nada específico sobre QM.
- En las ecuaciones de Euler Lagrange. La condición necesaria L para ser un punto extremo es que satisface las ecuaciones EL. Entonces Hamilton ‘ s principio no es realmente un principio. Puedes pensar en QED, en QM, … pero es solo porque una razón matemática .
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Las notas de la semana 1 de El curso de John Baez en mecánica lagrangiana brinda una idea de las motivaciones de los principios de acción.
La idea es que la acción mínima podría considerarse una extensión del principio del trabajo virtual. Cuando un objeto está en equilibrio, no se necesita trabajo para realizar un pequeño desplazamiento arbitrario sobre él, i. mi. el producto escalar de cualquier vector de desplazamiento pequeño y la fuerza es cero (en este caso porque la fuerza en sí es cero).
Cuando un objeto está acelerando, si agregamos una «fuerza inercial» igual a $ \, – ma \, $ , luego un desplazamiento pequeño, arbitrario y dependiente del tiempo de la trayectoria verdadera del objeto volvería a tener un producto de punto cero con $ \, F-ma, \, $ la fuerza verdadera y la fuerza de inercia agregadas. Esto da
$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$
Desde allí, algunos cálculos encontrados en las notas conducen a la integral de acción estacionaria.
Báez discute D «Alembert más que Hamilton, pero de cualquier manera es una mirada interesante a los orígenes de la idea.
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- Tenga en cuenta que el principio del trabajo virtual se llama D ‘ Principio de Alembert: en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle
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También existe el enfoque de Feynman, es decir, la mínima acción es verdadera clásicamente solo porque es verdadera mecánicamente cuántica, y la física clásica se considera mejor como una aproximación al enfoque cuántico subyacente. Ver http://www.worldscibooks.com/physics/5852.html o http://www.eftaylor.com/pub/call_action.htm l.
Básicamente, todo se resume en pocas palabras en R ichard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics (Addison-Wesley, Reading, MA, 1964), Vol. II, Cap. 19. (Creo que, por favor, corrígeme si me equivoco aquí). La idea fundamental es que la integral de acción define la amplitud de la mecánica cuántica para la posición de la partícula, y la amplitud es estable a los efectos de interferencia (-> tiene probabilidad de ocurrencia distinta de cero) solo en los extremos o puntos de silla de la integral de acción. La partícula realmente explora todos los caminos alternativos de manera probabilística.
Es probable que desee leer las Conferencias de Física de Feynman de todos modos, por lo que podría Bueno, empieza ahora. 🙂
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- Feynman ‘ s Las conferencias sobre física son buenas, pero es mejor leerlas después de haber aprendido correctamente el tema, a fin de proporcionar información nueva / adicional, creo.
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Como puede ver en la imagen a continuación, desea que la variación de la integral de acción sea mínima, por lo tanto, $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ debe ser $ 0 $. De lo contrario, no está tomando la ruta verdadera entre $ q_ {t_ {1}} $ y $ q_ {t_ {2}} $ sino una ruta un poco más larga. Sin embargo, incluso siguiendo $ \ delta S = 0 $, como ya sabe, puede terminar con otro extremo.
Siguiendo el enlace de jc, puede encontrar En un método general sobre dinámica , que probablemente responda a su pregunta sobre el razonamiento de Hamilton. No he leído pero casi seguramente vale la pena.
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- Esto parece una respuesta tautológica ya que es precisamente Hamilton ‘ es el principio que se usa para llegar a la imagen de arriba en primer lugar.
- Quizás le enseñaron el principio de ‘ de Hamilton y llegó a ese imagen como explicación, pero la imagen es perfectamente general. Describe la variación de una función con puntos finales fijos.
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Generalmente cuento la historia de que el principio de acción es otra forma de llegar a las mismas ecuaciones diferenciales – así que a nivel de mecánica, los dos son equivalentes. Sin embargo, cuando se trata de la teoría cuántica de campos, la descripción en términos de integrales de trayectoria sobre la acción exponenciada es esencial al considerar los efectos instanton. Así que, eventualmente, uno descubre que la formulación en términos de acciones es más fundamental y más sólida físicamente.
Pero aún así, la gente no tiene un «sentido» para la acción de la forma en que tiene un sentido para la energía.
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Recordemos que las ecuaciones de movimiento con inicial condiciones $ q (0), (dq / dt) (0) $ se avanzaron primero y el principio de mínima acción se formuló más tarde, como una secuencia. Aunque es hermoso y elegante matemáticamente, el El principio de mínima acción utiliza alguna condición futura de «límite» $ q (t_2) $, que se desconoce físicamente. No existe un principio de mínima acción que opere solo con las condiciones iniciales.
Además, se da a entender que la Las ecuaciones tienen soluciones físicas. Esto es así en la Mecánica Clásica, pero es incorrecto en la Electrodinámica Clásica. Por lo tanto, incluso derivadas del «principio» formalmente correcto, las ecuaciones pueden ser incorrectas a nivel físico y matemático. En este Respeto, formular las ecuaciones físicas correctas es una tarea más fundamental para los físicos que confiar en algún «principio» para obtener ecuaciones «automáticamente». Somos nosotros los físicos los responsables de formular correctamente las ecuaciones.
En CED, QED y QFT uno tiene que «reparar en marcha» las soluciones incorrectas solo porque la física se adivinó e inicialmente se implementó incorrectamente.
PD Me gustaría mostrar cómo, en realidad, el sistema «elige» su trayectoria: si en $ t = 0 $ la partícula tiene un impulso $ p (t) $, entonces en el siguiente momento $ t + dt $ tiene el impulso $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Este incremento es bastante local en el tiempo, está determinado por el valor de fuerza actual $ F (t) $ por lo que ninguna condición de «límite» futura puede determinarlo. La trayectoria no se «escoge» de las virtuales; se «dibuja» por los valores instantáneos de fuerza, coordenada y velocidad.
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- Me gusta pensar que ambas opciones son meramente matemáticas modelos y, por lo tanto, ninguno es más real. Ni el sistema elige su trayectoria ni el futuro determina el camino de menor acción. La no-localidad de QM lleva a dudas similares.
- ¡Sorprendentemente, ahora hay un principio de acción mínima que opera solo con las condiciones iniciales! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
- Aquí hay un versión arXiv . Sin leer el artículo en detalle, huele a un formalismo Keldysh clásico, cf. this y this publicaciones de Phys.SE.
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En lugar de especificar la posición inicial y el impulso tal como lo hemos hecho en el formalismo de Newton, reformulemos nuestra pregunta de la siguiente manera:
Si elegimos especificar las posiciones inicial y final: $ \ textbf {¿Qué camino toma la partícula?} $
Let» Afirmamos que podemos recuperar el formalismo de Newton mediante el siguiente formalismo, el llamado formalismo lagrangiano o principio hamiltoniano.
A cada camino ilustrado en la figura anterior, le asignamos un número al que llamamos acción
$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$
donde este integrando es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial.
$ \ textbf {Declaraciones del principio de Hamilton} $: El verdadero camino tomado por la partícula es un extremo de S.
$ \ textbf {Prueba:} $
1.Cambie levemente la ruta:
$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$
2.Mantenga los puntos finales de la ruta fijos :
$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$
3.Tome la variación de la acción $ S $:
finalmente, obtendrá
$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$
La condición de que la ruta con la que comenzamos sea un extremo de la acción es
$$ \ delta S = 0 $$
que debería ser válido para todos los cambios $ \ delta \ vec {r} (t) $ que hacemos a la ruta. La única forma en que esto puede suceder es si la expresión en $ [\ cdots] $ es cero.Esto significa
$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$
Ahora reconocemos esto como $ \ textbf {ecuaciones de Newton} $. Requerir que la acción sea extrema es equivalente a requerir que la ruta obedezca a las ecuaciones de Newton.
Para más detalles, puede leer esta conferencia en pdf.
Espero que te ayude.
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- Si vemos una partícula restringida para moverse en una esfera, llegamos a las rutas uno es un máximo o un mínimo. Siento que una partícula sigue el camino de menor acción, pero la ecuación matemática δS = 0 nos da una respuesta ambigua, pero una cierta parte de esta respuesta contiene un camino de mínima acción. Puede ver Arfken y Weber.