Un objeto que cae no alcanza la velocidad terminal; se acerca a la velocidad terminal asintóticamente de acuerdo con la fórmula $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Aquí $ m $ es la masa del objeto, $ g $ es la aceleración debida a la gravedad, $ \ rho $ es la densidad del fluido a través del cual pasa el objeto cayendo, $ A $ es el área proyectada del objeto y $ C_d $ es el coeficiente de arrastre .
Entonces $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ es la velocidad terminal y $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ es la escala de tiempo en cuya velocidad terminal se aproxima de acuerdo con $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}}. $$ En $ t = \ tau $ el el objeto está al 76% de la velocidad terminal. En $ t = 2 \ tau $ el objeto está al 96% de la velocidad terminal. En $ t = 3 \ tau $ está al 99,5% de la velocidad terminal.
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